Численный метод часть 1. Квартальные календари

линейно независимы.
Перепишем уравнение (347) так:
,
или, в векторно-матричной форме
, (348)
где
.
Уравнение (348) можем представить как, или
. (349)
С (349) определим матрицу D:
.
Отсюда
. (350)
Пример 2. По заданной матрицей
найти.
Решение. Поскольку характеристическими корнями матрицы А есть числа,, то соответствующие им характеристические векторы будут такие:
,.
Итак, матрицы T и T -1 иметь соответственно следующий вид:
,.
Тогда
.
Найдя диагональную матрицу
,
получим:
.
Заметим, что определять характеристические векторы и строить матрицы Т, Т -1 приходится для отыскания решений системы нелинейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2. Нахождение решений
для систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
за, (351)
где; ; ; ; — Вектор граничных условий.
Пусть
, (352)
где, Т — матрица, столбцами которой являются характеристические векторы матрицы А.
Тогда
Итак,
. (353)
Поскольку, то
. (354)
Принимая во внимание, что, где, получим
,
или
, (355)
где. (356)
Уравнение (353) представим в следующем виде:
,
или
. (357)
Таким образом, система линейных дифференциальных уравнений (351) диагонализации матрицы А свели к виду (357), удобного для дальнейшего решения.
Так, для i-го уравнения системы (357) имеем:
,, (358)
(359)
Поскольку согласно (359), то окончательное решение будет таков:
. (360)
Учитывая (360), получаем общее решение системы (351):
.
Пример 3. Решить системы линейных дифференциальных уравнений
если.
Решение. Читать далее »