Числовые и степенные ряды

Реферат на тему:
Числовые и степенные ряды
ПЛАН
1. Числовые ряды.
2. Степенные ряды.
1. Числовые ряды
В некоторых задачах рассматривают суммы, состоящие из бесконечного количества слагаемых. Свойства таких бесконечных сумм часто существенно отличаются от свойств сумм конечного числа слагаемых.
Например, для суммы S = 1-1 + 1-1 + 1-1 + ... согласно ассоциативным законом имеем S = (1-1) + (1-1) + ... и S = ​​1- (1 -1) — (1-1) — ... Итак, для бесконечных сумм ассоциативный (соединительный) закон сложения не выполняется.
Определение. Пусть задано бесконечную последовательность {an} = a1, a2, ..., an, ...
Тогда выражение a1 + a2 + ... + an + ... =
называют числовым рядом, а слагаемое an — общим членом этого ряда.
Рассмотрим частичные суммы числового ряда:
S1 = a1;
S2 = a1 + a2;
.............
Sn = a1 + a2 + ... + an;
................
Определение. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных (частных) сумм в конечную границу. Эта граница называется суммой ряда
(9.1)
Примеры.
1. Ряд является сходящимся. Его сумма равна 1, так как согласно формуле суммы геометрической прогрессии.
2. Ряд является расходящимся, поскольку можно доказать, что для любого числа A найдется такой номер N,.
3. Пусть в некоторой закрытой экономике доля национального продукта, которую тратят на потребление, составляет b, а доля, которую вкладывают в инвестирование 1-b. Пусть начальные инвестиции равны I. Тогда согласно теории Кейнса потребления повлечет новые инвестиции в размере b I. На следующем этапе иметь инвестиции в размере b2 I и так далее. В перспективе национальный доход составит Y = I + bI + b2I + ... =. Коэффициент называют мультипликатором.
Свойства сходящихся рядов
Теорема 1 (необходимое условие сходимости рядов). Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю ().
Теорема 2. Если ряд сходится, то для любого значения m 2 совпадает ряд и наоборот.
Кроме того, совпадающие ряды можно почленно добавлять и умножать на число.
монтаж пожарной сигнализации

Достаточно признаки сходимости рядов
Теорема 3. Пусть заданы два ряда с положительными членами (знакододатни, знакостали ряда) и. Пусть для всех значений индекса i выполняется ai bi. Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда.
Теорема 4 (признак Д'Аламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел.Тогда при l1 разбегается.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Находим границу
. Ряд совпадает.
Теорема 5 (признак Лейбница). Пусть задано знакопеременный ряд (каждые два соседних члены ряда имеют другой знак). Тогда если, то ряд является сходящимся.
Пример. Ряд совпадает, потому.
Для вычисления этого ряда, например, с точностью до 0.01 нужно, чтобы, то есть, откуда. Итак, нужно взять 100 членов ряда.
Абсолютная сходимость рядов
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если совпадает ряд, и условно сходящимся, если совпадает ряд, а ряд расходится.
Примеры.
1. Ряд является условно сходящимся, поскольку ряд расходится.
2. Ряд абсолютно сходится.
2. Степенные ряды
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
c0 + c1x + c2x2 + ... + cnxn + ...
Примеры.
1. Степенной ряд 1 + x + x2 + ... + xn + ... Здесь все cn = 1.
2. Степенной ряд 1-2x + 3×2-4×3 + 5×4- ... Здесь cn = (-1) n (n + 1).
Очевидно, что одними значений переменной x ряд может совпадать, а других — разбегаться. Поэтому ставят задачу звидшукання радиуса сходимости степенного ряда (то есть такого положительного числа R, для всех значений | x | Пример.
1. Найти область сходимости степенного ряда
Согласно признаку Д'Аламбера.
Очевидно, что при -2 Теорема (без доказательства). Степенной ряд в области его сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать.
Одним из важнейших результатов математического анализа расклад функций в ряды.
Теорема. Пусть в некоторой окрестности точки x0 функция f (x) является (n + 1) раз дифференцируемой. Тогда в этом окрестности функция f (x) разлагается в такой ряд
, (9.2)
где точка принадлежит окрестности точки x0.
Эту формулу называют формулой Тейлора. Очевидно, что когда (n + 1) -я производная f (n + 1) (x) ограничена, то остаточный член ряда стремится к нулю при x x0. Итак,
.
При x0 = 0 формула Тейлора превращается в формулу Маклорена
(9.3)
Легко видеть, что формула Маклорена является степенным рядом. Таким образом элементарные (школьные) функции, все которые много раз дифференцируемыми, можно розкладасты в степенные ряды.
Примеры.
1. Разложить в степенной ряд функцию f (x) = ex.
Имеем f (x) = f (x) = f (x) = ... = f (n) (x) = ... = ex. Далее f (0) = f (0) = f (0) = ...
... = f (n) (0) = ... = e0 = 1. Итак,
2.
Согласно признаку Лейбница () ряд сходится при любом значении x.
2. Поскольку (sinx) = cosx, (sinx) = -sinx, (sinx) = -cosx, (sinx) IV = sinx, то
... =
4. Поскольку
и дальше ln 1 = 1, ln 1 = -1 !, ln 1 = 2 !,
то
Радиус сходимости определяем в соответствии с признаком Д'Аламбера:
, откуда условие | x | <1. Итак, R = 1.
Формула Тейлора оправдывается и для функций от многих переменных. В частности, для функции от двух переменных f (x, y) в окрестности точки (0; 0):
(9.4)

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.