Скалярное произведение двух векторов, его свойства Векторное произведение, его свойства Смешанный произвед

Реферат на тему:
Скалярное произведение двух векторов, его свойства. Векторное произведение, его свойства. Смешанный произведение трех векторов, его свойства.
План
"Скалярное произведение векторов.
" Свойства скалярного произведения.
"Скалярное произведение векторов, заданных координатами.
" Векторное произведение векторов.
"Свойства векторного произведения.
" Векторное произведение векторов, заданных координатами.
"Смешанный произведение векторов.
" Смешанный произведение векторов, заданных координатами.
1. Скалярное произведение двух векторов
Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длин этих векторов на косинус угла, образованного векторами, то есть
Здесь символ означает угол между векторами. Пусть.
Тогда есть скалярное произведение любого вектора на единичный вектор определяет величину проекции вектора на направление единичного вектора.
Скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из них на проекцию другого на направление первого.
Пример. Под действием данной силы тело переместилось в данном направлении на величину.
Хотите приобрести качественное и недорогое спортивное питание? Заходите на http://sport4life.com.ua/about_us и заказывайте по низким ценам.
Вычислить работу силы (рис.2.12).
Рис.2.12
Р а з в 'я из о к. Разложим силу на сумму двух слагаемых:. Очевидно, работа суммы сил равен сумме составляющих сил. Но работа силы, перпендикулярной направлению пути, равна нулю, а работа силы, параллельной пути, равная произведению модуля силы на длину пути:
.
Но, так окончательно получим
.
Скалярное произведение обозначается одним из трех способов:
.
Основные свойства скалярного произведения.
10.
Если то Если то или или или а в нулевого вектора направление — произвольный.
20. — следует сразу из определения.
30.
40...
Пусть Тогда
,
потому произведения взаимно перпендикулярных единичных векторов равны нулю, а произведения параллельных одинаково направленных единичных векторов равны единице.
Итак,
, (2.9)
есть равна сумме произведений одноименных координат векторов.
Если, то из (2.9) имеем
(2.10)
Поэтому (2.11)
Из формулы (2.10) имеем. (2.12)
формуле (2.10) и (2.12) определяются в соответствии квадрат длины вектора и квадрат расстояния между точками и.
Если вектор -одиничний, то его проекциями на оси координат и соответственно есть и будет. Поэтому из формулы (2.11) имеем
. (2.13)
Поскольку, то
. (2.14)
Если в формуле (2.14) вектор, то получим косинус угла, его образует вектор с осью:
Аналогично иметь косинусы углов и вектора с осями соответственно и:
Пример. Определить угол между векторами и, если вектор
перпендикулярно вектору, а вектор перпендикулярен к вектору.
Р а з в 'я из о к. С перпендикулярности векторов и имеем
.
Аналогично.
Итак, имеем систему уравнений:
Исключив от первого уравнения второе, получим
Тогда
Итак,
2. Векторное произведение двух векторов
Как известно из школьного курса физики, моментом силы относительно точки называется произведение силы на длину плеча (плечо силы — это отрезок от точки до линии действия силы), то есть. Рассмотрим силу, момент которой относительно точки надо найти. Очевидно, момент будет полностью определен, если будут заданы:
1) числовые значения момента равен;
2) плоскость, в которой лежат сила и точка;
3) направление, в котором действует сила.
Все эти три характеристики можно выразить с помощью одного вектора, если 1); 2) (- плоскость) 3) направим вектор так, чтобы это направление было некоторым однозначным образом связан с направлением силы (рис. 2.13 а, б). В качестве такой связи
между направлениями выберем «правило буравчика»: проведем вектор так, чтобы вращение головки буравчика совпадало с направлением действия силы, а поступательное движение буравчика совпадал с направлением вектора. Тогда, в случае, показанном на рис. 2.13б — вниз. Вектор является вектором момента силы. Если ввести в рассмотрение вектор (рис.2.13), то, учитывая, что
Рис. 2.13 Рис.2.13б
, иметь числовое значение вектора:
а направление его определяется по «правилу буравчика». Вектор можно параллельно перенести в точку. Произведение можно трактовать как площадь параллелограмма, построенного на векторах и.
Рассмотрим упорядоченную тройку векторов которая отнесена к общему начала. Векторы образуют правую тройку, если с конца вектора видно кратчайший поворот от вектора к вектору против часовой стрелки. В противном случае, если этот поворот видно по часовой стрелке, то векторы образуют левую тройку.
Определение. Векторным произведением вектора на вектор
называется такой третий вектор, длина которого численно
равна площади параллелограмма, построенного на векторах и, перпендикулярно плоскости этих векторов и направлен так, что векторы образуют правую тройку.
Из определения следует, что длина вектора составляет
.
Векторное произведение на обозначается символом
или.
Итак, в рассматриваемом примере о моменте силы можно записать: или, а направление вектора, если
взглянуть на направления вращения головки буравчика, соответствует тому, который определяется определению векторного произведения.
К понятию векторного произведения приводят много других задач физики и техники. Например, связь между угловой скоростью вращения, линейной скоростью и радиусом вращения тоже дается векторным произведением.
Из определения векторного произведения следует, что он превращается в ноль тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов равна нулю, или если векторы коллинеарны (т.е. параллельные).
Условия коллинеарности двух векторов и выглядит так:
и, в частности,.
Завет коллинеарности можно выразить и так:, где — числовой множитель.
Рассмотрим векторное произведение векторов, заданных координатами.
Пользуясь определениями векторного произведения, легко доказать, что
Последние три равенства легко запомнить по схеме, изображенной на рис.2.14, двигаясь в направлении, указанном стрелками. Если двигаться
Рис.2.14
в противоположном направлении, то получим
.
Пусть.
Тогда
.
Учитывая таблицу единичных ортов, получим
.
Итак,
. (2.15)
Основные свойства векторного произведения.
10. (это свойство доказана ранее).
20...
Доказательство этого свойства следует из равенства (2.15). Действительно, в результате перестановки множителей в произведении 2-й и 3-й строки определителя в (2.15) поменяются местами, а это означает, что знак определителя изменится.
30 и.
Эти равенства тоже легко приходятся на основе равенства (2.15).
40.
Читателю предлагается довести эту властивистьсамостийно.
Пример. Найти расстояние от точки до прямой,
проходящей через точку параллельно вектору.
Р а з в 'я из о к. На векторах и построим параллелограмм (рис.2.15). Поскольку согласно определению векторного произведения площадь параллелограмма численно равна модулю векторного произведения векторов и, то.
Итак,
.
Поэтому
.
Поскольку, то
Но.
Теперь уже легко записать, чему равна.
рис.2.15
3. Векторно-скалярное (смешанный) произведение
трех векторов
Когда речь идет о произведении трех векторов и, возможны следующие случаи:
Легко понять, что первое произведение является вектором, потому что есть скаляр, а произведение скаляра на вектор — вектор; в третьем случае имеем векторное произведение, что умножается векторно на вектор, то есть сводится к вычислению векторного произведения после того, как вычислено. Во втором случае дело сводится к вычислению скалярного произведения после того, как вычислено.
Из рассмотренных трех произведений смешанным есть. Изучением этого произведения и займемся.
Понятно, что численно определяет площадь параллелограмма, построенного на векторах и. Пусть. Тогда Численно. Но по определению векторного произведения, а потому вектор проектировался на вектор.
Итак численно можно считать равным объему параллелепипеда, построенного на векторах и со знаком «+» или «-» (рис .2.16). Объем, очевидно, будет положительным, если — острый, а если этот угол тупой, то объем будет отрицательным.
Смешанный произведение, как правило, записывают так:.
Смешанный произведение векторов, заданных координатами.
Пусть
.
.
Итак,
или
. (2.16)
Рис. 2.16
Вывод. Векторно-скалярное произведение трех векторов заданных своими проекциями, равна определителе третьего порядка, составленном из этих проекций.
Из формулы (2.16), пользуясь тем, что при перестановке двух соседних строк определителя его знак меняется на противоположный и соответственно переставляются множители в смешанном произведения, верная такое равенство:
,
есть круговая перестановка трех множителей векторно-скалярного произведения не изменяет его величины.
Перестановка двух соседних множителей меняет знак произведения. С формулы (2.16) следует также, что.
Если три вектора компланарные (параллельные одной и той же плоскости), и тогда, значит, — необходимое и достаточное условие компланарности векторов и. Этот факт очевиден и из геометрических соображений. Объем параллелепипеда в этом случае равна нулю.
Пример 1. Найти кратчайшую расстояние между двумя прямыми, если одна из них проходит через точку параллельно вектору, а вторая проходит через точку параллельно вектору (рис.2.17).
Рис. 2.17
Р а з в 'я из о к. Построим вектор и проведем через точку прямую параллельную, а через точку прямую, параллельную прямой. Тогда прямые и и и определяют собой две параллельные плоскости. Расстояние между этими плоскостями и будет короткой расстоянием между прямыми и. На векторах и строим параллелепипед. Его объем
(куб. Ед.)
Найдем площадь основания параллелепипеда:
Тогда (кв. Ед).
Но. Отсюда
(л. Ед.).
Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, где и — единичные взаимно перпендикулярные векторы.
Р а з в 'я из о к. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов. Поэтому найдем
, потому
и.
Далее имеем. Поскольку и — единичные взаимно перпендикулярные векторы, то.
Итак, (кв. ед.).

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.