Числовые последовательности Граница, основные свойства границ Бесконечно малые и бесконечно большие величи часть 2

Поисковая работа на тему:
Числовые последовательности. Граница, основные свойства границ. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства. Формулировка теоремы о существовании границы монотонной последовательности и функции. Сравнение величин. Эквивалентные бесконечно малые величины.
План
· Числовые последовательности.
· Граница, основные свойства.
· Граница монотонной последовательности и функции.
· Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства.
· Сравнение величин.
· Эквивалентные бесконечно малые величины.
Числовые последовательности
1. Определение числовой последовательности
Дадим определение бесконечной числовой последовательности и опишем некоторые из них.
Определение. Бесконечной числовой последовательности называется совокупность чисел, каждому из которых присвоен определенный порядковый номер
(5.1)
где числа — члены последовательности, соответственно, первый, второй и т.д .; — — И, или общий член последовательности.
Профессиональная помощь в сфере бухгалтерского учета для фирм без штатного бухгалтера, вот бухгалтерские услуги в Екатеринбурге на сайте centerfinansist.ru

Числовую последовательность записывают или в виде ряда чисел (5.1) или в виде Числовая последовательность считается заданной, если указан закон или правило, с помощью которого каждому натуральному числу ставится в соответствие действительное число Опишем основные способы задания этого правила.
Способ 1. Правило может быть задано формулой, которой задается общий член последовательности
Примеры.
1. Соответствующая числовая последовательность имеет вид
.
2. Данная последовательность имеет вид.
Способ 2. При задании последовательности задают несколько ее первоначальных членов и правило (почти всегда это формула) образование го члена с помощью предыдущих членов. Такой способ называется рекуррентным.
Например, пусть Так задано последовательность.
Способ 3. В некоторых случаях может быть неизвестна формула общего члена последовательности, и также не задано рекуррентное соотношение, а последовательность задается словесно. Например, пусть есть десятичной приближением квадратного корня из с надбавкой с точностью до Тогда первые члены этой последовательности имеют вид:
Геометрически члены последовательности изображаются точками на числовой оси.
Среди числовых последовательностей в отдельный класс выделяют монотонные последовательности, объединяющих в себе растущие, нисходящие, неубывающая, а не растущие последовательности.
Определение. Последовательность называется возрастающей, если каждый ее следующий член больше предыдущего, то есть для каждого
Пример. В последовательности каждый последующий член больше предыдущего. Итак, заданная последовательность является растущая.
Определение. Последовательность называется неубывающей, если для каждого
Пример. Если положить (означает функцию рантье), то получим неубывающая последовательность.
Определение. Последовательность называется убывающей, если
для каждого
Пример. Последовательность является нисходящая.
Определение. Последовательность называется невозрастающая, если для каждого.
Пример. Если взять то получим невозрастающая последовательность.
Для дальнейшего изучения числовых последовательностей следует ввести понятие ограниченных и неограниченных последовательностей.
Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует действительное число такое, что для всякого выполняется неравенство.
Последовательность называется ограниченной снизу, если существует действительное число такое, что для всех выполняется неравенство
Примеры.
1. Если взять получим последовательность ограниченную сверху, поскольку
2. Если взять получим последовательность ограниченную снизу, поскольку
Определение. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, в противном случае — неограниченной.
Примеры.
1. Пусть Последовательность
является ограниченная
Последовательность не является ограничено.
Приведем еще такие формулировки определения ограниченных и неограниченных последовательностей.
Последовательность называется ограниченной, если для всех
Положим Последовательность называется ограниченной, если
Последовательность называется неограниченной, если
Примеры.
1. Пусть Тогда Итак, последовательность является ограничено.
2. Рассмотрим последовательность Здесь Какое бы число мы ни взяли, найдется такое натуральное число, например, когда Итак, заданная последовательность не является ограничено.
Замечания. Ограниченная последовательность не является обязательно монотонной, и наоборот, не всякая монотонная последовательность является ограничено. Так, последовательность является ограниченной, но не является монотонная; последовательность есть монотонная, но не является ограничено; последовательность есть и неограниченная, и немонотонная; последовательность является ограниченная и монотонная.
2. Предел последовательности
Дадим определение предела последовательности и рассмотрим геометрическую иллюстрацию этого понятия.
Определение. Устойчивое число называется пределом числовой последовательности, если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое натуральное число для всех выполняется неравенство
(5.2)
Тот факт, что является границей последовательности символически
записывается так:
или при
Другими словами, число называется пределом последовательности если. (5.3)
Пример. Доказать, что Найти номер такой, когда при
Р а з в 'я из о к. Согласно определению границы надо показать, что
(5.4)
Для выполнения неравенства (5.4) следует, чтобы
или.
Итак, существует число, а именно когда при выполняется неравенство (5.4). Поэтому Найдем зависимости от конкретно заданного. Пусть тогда
Поэтому неравенство
справедлива для всех
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию того факта, когда есть
границей числовой последовательности. Возьмем на числовой оси точку с абсциссой и откладывать точки с абсциссами
Тогда неравенство (5.3) означает, что расстояние между точкой при и точкой должна быть меньше. Итак, все члены последовательности начиная с должны находиться в интервале Интервал есть — околышем точки.
Если число является границей последовательности, все члены этой последовательности, номера которых находятся в произвольном — окрестности точки. Что касается членов последовательности номера которых может об их размещении на числовой оси ничего нельзя сказать, они могут находиться как внутри — окрестности точки, так и вне его. Однако в любом случае вне произвольным — околышем точки может быть размещено только конечное число членов последовательности.
3. Свойства сходящихся числовых последовательностей
Введем понятие сходящихся последовательностей и подадим ряд их свойств, которые будем формулировать в виде теорем.
Определение. Числовая последовательность, которая имеет границы, называется сходящейся, а не имеющая границы, — расходящейся.
Теорема 1. Последовательность может иметь только одну границу.
Теорема 2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Замечания. Обратного утверждения этой теоремы не существует.
Так, последовательность является ограниченной, но она не имеет предела.
Теорема 3. Если и то и члены последовательности начиная с определенного номера и для всех последующих номеров, будут крупнее (меньше).
Следствие 1. Члены последовательности которая имеет границы, начиная с определенного номера, имеют знак этой границы.
Следствие 2. Если две последовательности и при каждом значении удовлетворяют неравенству и то
Замечания. Если члены последовательностей и имеют границы, удовлетворяют при всех неровности то
Теорема 4. Пусть члены последовательностей, при всех значениях удовлетворяют неравенству и время
4. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности
Введем понятие бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей и установим связь между ними.
Определение. Числовая последовательность называется бесконечно малой, если
(5.5)
что то же при
Определение. Числовая последовательность называется бесконечно большой, если
(5.6)
Это выражение записывают так:
Теорема 1. Если последовательность бесконечно мала и при всех то последовательность — бесконечно велика. Если последовательность бесконечно большая и при всех то последовательность -

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.