Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Реферат на тему:
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса < br /> Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными (1).
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований:
1) умножение уравнения на некоторое число;
2) замена одного из уравнений системы суммой с другим уравнением
той же системы, умножим на некоторое число;
3) удаление из системы уравнений тождеств.
С помощью преобразования 2) можно исключить некоторое неизвестное из всех уравнений системы, кроме одного.
Renovering

Выберем для этого уравнения с номером 1), содержащее неизвестное:
.
Это уравнение будем называть ведущим, а — ведущим неизвестным. Для исключения ведущего неизвестного из уравнения с номером
добавим к нему ведущее уравнение, умноженное на некоторое число. Тогда получим
. (2)
Чтобы исключить неизвестно, приравняем к нулю коэффициент при, то есть Отсюда.
Тогда уравнение (2) будет иметь вид
где
(3)
Выполнив все эти операции при,
Выполнив все эти операции получим систему уравнений, в которой неизвестно содержаться только в-м уравнении, а в других уравнениях неизвестного не будет.
Таким же способом, принимая в качестве ведущего другое уравнение, можно всех прочих уравнений исключить ведущее избранное неизвестно. Продолжая этот процесс до тех пор, пока каждое уравнение побудет ведущим только один раз, придем к системе уравнений вида
(4)
В роли ведущего последовательно брались уравнения 1-е и -то, а в роли ведущего неизвестного брались последовательно . Если при этом ни одно уравнение не превращалось в тождество, то понятно, они дальше в процессе преобразования не участвуют и поэтому исключаются из системы.
В этом случае в системе (4) количество уравнений будет меньше, чем.
Если описанный процесс проводился в другом порядке, то после его окончания члены в уравнениях всегда можно переставить так, чтобы система приобрела вид (4).
В случае, когда в процессе решения системы уравнений где-нибудь левая часть какого-то уравнения обращается в нуль, а права-не равна нулю, то это означает, что система несовместима и поэтому вычисления следует прекратить.
В уравнении (4) неизвестные называются базисными, а остальные переменных — небазисными. Базисное решение состоит из базисных переменных и нулей, причем нулям соответствуют небазисные переменные. Если в базисе есть столько переменных, сколько уравнений, то такой базис называется невырожденным. Если базисных переменных меньше, чем, то такой базис называется вырожденным.
Пример. Решить методом Гаусса систему уравнений:
Р а з в 'я из о к. Так как 1- , 4- , и 5-й столбики имеют соответственно общие множители 2, 3 и 5, то чтобы иметь дело с меньшими коэффициентами, выгодно ввести новые переменные по формулам. И кроме того, переименовать неизвестные в и, чтобы унифицировать наименование неизвестных. Тогда получим
Чтобы при дальнейших преобразования не переписывать на каждом шагу неизвестные, запишем систему в виде таблицы, вполне понятной:
Примем в качестве ведущего первую строчку и в нем ведущим-первый элемент; с помощью его превратим в нули в первом столбце все элементы, кроме первого.
Первая строка умножим поочередно на,,, и результаты добавим согласно второму, третьему, четвертому и пятому строк. В результате получим:
.
Во второй строке все элементы отрицательные, поэтому можно всю строку умножить на -1. Это не повлияет на результат, потому что такая операция равносильна умножению второго уравнения на -1. Аналогичные действия выполнены с третьей строкой.
Последняя таблица получена умножением второй строки на (3), 5-го — (-3), четвертого — на (-1).
С последней таблицы имеем Учтя подстановки, находим Пояснения к последней таблице: в ней уравнения имеют вид
Из этих уравнений найдено
Ответ:
В различных областях человеческих знаний (наука, производство, экономика, теория массового обслуживания и т.д.) часто возникают задачи, решение которых приводит к системам линейных уравнений, в которых количество уравнений не обязательно равно числу неизвестных. Неизвестных может быть больше или меньше количества уравнений. Для решения таких систем разработан ряд методов, в том числе и с помощью определителей. Но самый распространенный из них — метод Жордана-Гаусса, который не требует предварительных исследований на совместимость или несовместимость. В процессе решения всегда становится ясно, имеет система решения или нет, единственный ее решение или нет. Поскольку для решения системы уравнений методом Гаусса нужно на порядок меньше математических операций, чем при решении по формулам Крамера, то метод Гаусса стал основным при построении стандартных программ для современных компьютеров.
Литература:
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М .: Наука. 1980. — 336 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и Интегральное исчисление. — М .: Наука. 1980. — 432 с.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М .: Наука. 1980. — 176 с.
4. Дубовик В. П., Юрчик И. Высшая математика. К .: Высшая школа., 1993.
5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. — М .: Высшая школа. 1964.
6. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. — М .: ЮНИТИ, 1997...

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.