Условный экстремум Метод множителей Лагранжа Метод наименьших квадратов (поисковая работа)

Поисковая работа на тему:
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов.
План
"Условный экстремум
" Необходимые условия
"Метод множителей Лагранжа
" Нахождение функции на основе экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
1. Условный экстремум
В предыдущих параграфах были рассмотрены максимумы и минимумы функции в предположении, что те переменные, от которых функция зависит, являются независимыми. В этих случаях максимумы минимумы называются безусловными. Но во многих задачах нужно находить экстремумы функции, аргументы которой удовлетворяют некоторым дополнительным условиям — связи. В этих случаях аргументы функции не являются независимыми. Экстремумы такого типа называются условными. В качестве примера, приведем задачу о нахождении экстремума
при условии, что ее аргументы удовлетворяют условию связи
.
В данной задачи экстремумы функции находят не на всем протяжении, а только на прямой.
как правильно худеть

Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции
(6.89)
при
(6.90)
При наличии условия (6.90) из двух переменных и независимой будет лишь одна, например , поскольку определяется с равенства (6.90) как функция. Если с (6.90) найти явную зависимость от и подставить ее в (6.89), то получим функцию одной переменной, которую нужно исследовать на экстремум. Но решение уравнения (6.90) относительно одной из переменных может быть трудным или вообще невозможным. Поэтому остановимся на особом методе решения задачи на условный экстремум — методе неопределенных множителей Лагранжа.
В точках экстремума производная должна равняться нулю. Учитывая, что есть функция от, находим.
Итак, в точках экстремума
. (6.91)
С равенства (6.90) имеем
(6.92)
Домножим равенство (6.92) на неопределенный множитель и добавим ее с равенством (6.91), получим
.
или
(6.93)
(6.93) превращалась в нуль: Равенство (6.93) выполняется во всех точках экстремума. Подберем множитель так, чтобы в точках экстремума вторых скобках в равенстве
.
Тогда в точках экстремума выполняются три уравнения:
(6.94)
с тремя неизвестными. Из системы (6.94) определяем и, что играет лишь вспомогательную роль и в дальнейшем не требуется.
Левые части уравнений (6.94) является частными производными функции
,
которая называется функцией Лагранжа. Система (6.94) совпадает с условиями безусловного экстремума.
С вывода уравнений (6.94) следует, что они являются лишь необходимыми условиями условного экстремума.
Замечания. Описанный метод распространяется на исследования условного экстремума функции любого числа переменных.
Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции переменных
при условии, что переменные связаны уравнениями:
(6.95)
Составим функцию Лагранжа
и приравняем к нулю ее частные производные по:
(6.96)
С уравнений (6.95) и (6.96) находим координаты критических точек и вспомогательных неизвестных. Системы уравнений (6.95) и (6.96) являются необходимыми условиями условного экстремума.
Пример. При каких размеров прямоугольный параллелепипед имеет наибольший объем, если его полная поверхность имеет площадь?
Р а з в 'я из о к. Пусть длина сторон параллелепипеда равны и. Его объем, а площадь поверхности. Нужно найти наибольшее значение функции при.
Составляем функцию Лагранжа
и приравниваем к нулю ее частные производные:
,,
,.
Отсюда находим. Точка является критической точкой функции. Поскольку поставлена ​​задача имеет определенный решение, а критическая точка только одна, то в этой критической точке будет экстремум.
Искомый параллелепипед — куб со стороной.
2. Нахождение функции на основе экспериментальных данных
по методу наименьших квадратов
В разных областях человеческой деятельности широкое распространение имеют формулы, полученные на основе обработки наблюдений или экспериментов. Такие формулы называются эмпирическими.
Пусть на основе эксперимента нужно установить функциональную зависимость величины от величины:.
В результате получено значений функции при соответствующих значениях аргументов и результаты записаны так:
Вид функции устанавливается или с теоретических соображений, или на основе анализа графика функции. Для этого следует построить в прямоугольной декартовой системе координат точки, соответствующие экспериментальным значением. Эти точки в дальнейшем будем называть экспериментальным. Если экспериментальные точки размещены на координатной плоскости, как показано на рис. 6.15, то уместно строить зависимость от в виде линейной функции. Если экспериментальные точки размещены так, как показано на рис. 6.16, то функцию будем искать в виде.
При выбранном виде функции остается добрать параметры так, чтобы они как можно лучше и описывали
рис.6.13 Рис.6.14
рассматриваемый процесс. Самым распространенным методом решения данной задачи является метод решения данной задачи является метод наименьших квадратов.
Пусть экспериментальные точки группируются вокруг прямой (см. рис. 6.13). Тогда
(6.97)
где и — параметры, которые нужно найти.
Рассмотрим экспериментальную точку и точку с таким же абсциссой, но которая лежит на прямой. Ее координаты. Разницу ординат этих точек
, (6.98)
что представляет собой отклонение точки от прямой, назовем погрешностью.
Подберите параметры и так, чтобы сумма квадратов погрешностей
(6.99)
была наименьшей.
Подставим в (6.99) выражения ошибок (6.98), получим
(6.100)
Здесь и известные величины, а и — неизвестные, которые нужно найти. Для того чтобы функция имела наименьшее значение, необходимо
выполнить условия:
или
Перегруппировав члены, подадим эту систему в виде
или
(6.101)
Эта система уравнений называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Решив ее, находим и и подставляем в эмпирическую формулу.
Пусть теперь экспериментальные точки размещены вблизи некоторой параболы (см. рис. 6.14). Тогда
(6.102)
Для нахождения и используем метод наименьших квадратов. Отклонение по ординатой экспериментальных точек от соответствующих точек параболы
, (6.103)
Подберите параметры и так, чтобы сумма квадратов погрешностей (6.104)
была наименьшей. Для этого необходимо выполнение условий
Вычислив частные производные, имеем систему уравнений
Перегруппировав слагаемые в каждом из уравнений, получим нормальную систему уравнений метода наименьших квадратов для параболической зависимости:
(6.105)
С этой системы находим и и подставляем их в эмпирическую формулу.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.