Расписание функций в степенной ряд Достаточно умовирозкладу в ряд Тейлора (поисковая работа)

Поисковая работа на тему:
Расписание функций в степенной ряд. Достаточно умовирозкладу в ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенного вычисления.
План
"Ряды Тейлора и Маклорена
" Достаточные условия разложения в ряд Тейлора
"Примеры расписания функций в ряды
" Биномиальный ряд
"Исчисление указанных интегралов с помощью рядов
"Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
13.11. Ряды Тейлора и Маклорена
Для функции что все производные до го порядка включительно, в окрестности некоторой точки справедлива формула Тейлора:
(13.51)
где остаточный член в форме Лагранжа вычисляется по формуле
Если функция имеет производные всех порядков в окрестности точки то в формуле Тейлора число можно брать как угодно большим.
rahamaakler.ee
Предположим, что в окрестности точки остаточный член стремится к нулю при:
Тогда, перейдя в формуле (13.51) к пределу при получим безграничный ряд, который называется рядом Тейлора:
(13.52)
Последнее равенство справедлива лишь в том случае, когда Тогда написан дело ряд (13.52) сходится и его сумма равна данной функции
Действительно, где
Но есть а частная сумма ряда (13.52), ее граница равна сумме ряда, стоит в правой части равенства (13.52). Следовательно, равенство (13.52) справедлива.
С предыдущего следует, что ряд Тейлора представляет некоторую функцию только тогда, когда Если то ряд не представляет данной функции, хотя и может совпадать (до другой функции).
Если в ряде Тейлора положить то получим частный случай ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена:
(13.53)
Для каждой из элементарных функций существуют такие и, что в интервале она разлагается в ряд Тейлора ( Маклаурин).
13.12. Примеры расписания функций в ряды
1. Разложение в ряд Маклорена функции
Формула Маклорена для функции имеет вид
где
Докажем, что при произвольном фиксированном. Действительно,
Если фиксированное число, то найдется такое целое положительное число
Введем обозначения где; тогда можем написать при и т.д.
потому что
Но величина постоянная, то есть не зависит от того, а стремится к нулю при Поэтому
Поскольку то при всех
значениях Итак, ряд Маклорена имеет следующий вид:
(13.54)
Остаточный член стремится к нулю при произвольном, а поэтому данный ряд сходится и в качестве суммы имеет функцию при произвольном
2. Разложение в ряд Маклорена функции
Аналогично, исходя из формулы Маклорена для функции получим ряд
(13.55)
который совпадает при всех значениях и представляет функцию
3. Разложение в ряд Маклорена функции
Формула Маклорена для функции имеет следующий вид:
Поскольку то величина при фиксированном ограничена (при и при), а значит
при произвольном
Итак, ряд Маклорена для функции имеет следующий вид:
(13.56)
который для всех значений совпадает и представляет функцию
Заменив в расписании (13.565) на, получим ряд
(13.57)
Этими рядами пользуются для приближенных вычислений значений функций.
Пример. Вычислить с точностью
Р а з в 'я из о к. Подставляя в ряд (13.57) вместо получим
Это знакочергуючий стр. Поскольку, то с точностью до имеем
13.13. Биномиальное ряд
1. Разложение в ряд функции Разложим в ряд функцию где произвольное целое число.
Заметим, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
с начальным условием
Найдем такой степенной ряд, сумма которого удовлетворяет данному уравнению с начальным условием:
.
Подставляя его в дифференциальное уравнение, получим
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях находим:
.
Отсюда получим коэффициенты ряда
..............................................
................................................. .
Эти коэффициенты называются биномиальными.
Подставляя их в ряд, получим
.
Если целое положительное число, то, начиная с члена, содержит все коэффициенты равны нулю и ряд превращается в многочлен (бином Ньютона). При дробном или целом отрицательном получим безграничный ряд. Определим его радиус сходимости:
Таким образом, ряд сходится при
В интервале данный ряд представляет функцию, удовлетворяет данному дифференциальному уравнению с начальным условием Поскольку данное дифференциальное уравнение с начальным условием имеет единственное решение, то сумма ряда тождественно равна функции, и мы расписание функции в ряд:
(13.58)
Ряд (13.58) называется биномиальному рядом.
частности, при получим:
(13.59)
При будем иметь:
(13.60)
Биномиальный ряд (13.60) можно использовать для приближенных вычислений значений функций с заданной точностью .
Пример. Вычислить с точностью
Р а з в 'я из о к. Представим подкоренное число так и тогда
Подставив в ряд (13.60) вместо а получим:
.
Поскольку это знакопеременный ряд, можно оценить по теореме Лейбница остаток ряда
а потому с точностью до имеем:
2. Расписание в степенной ряд некоторых функций. Применим биномиальное ряд расписанию других функций. Подставив в ряд (13.59) вместо выражение получим:
.
На основе теоремы об интегрировании степенных рядов получим при:
. (13.61)
Аналогично, подставляя в ряд (2.46) вместо выражение получим ряд
.
Интегрируя данный ряд, будем иметь
. (13.62)
Этот ряд сходится в интервале. Можно было бы доказать, что ряд сходится при и для этих значений сумма ряда также равна Тогда, положив в ряд (13.62) получим формулу для вычисления числа:
.
3. Расписание в степенной ряд функции
Интегрируя равенство (13.59) в пределах от до (при), получим:
(13.63)
Это равенство справедливо на интервале
Заменяя в формуле (13.63) на, получим ряд
, (13.64)
который совпадает на интервале
С помощью рядов (13.63) и (13.64) можно вычислять логарифмы чисел. содержащиеся между нулем и единицей. Выведем формулу для вычисления натуральных логарифмов произвольных целых чисел.
Поскольку два сходящихся ряда можно почленно вычитать, то, вычитая от равенства (13.63) почленно равенство (13.64), получим:
.
Положим тогда При произвольном натуральном имеем поэтому
,
откуда
.
(13.65)
13.14. Вычисления указанных интегралов с помощью рядов
Рассматривая интегралы, было отмечено, что существуют указанные интегралы, которые, как функции верхней границы, не выражающихся через элементарные функции в конечной виде. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять с помощью рядов.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Вычислить
с точностью до
Используем ряд (2.41) для Тогда, заменяя получим
.
Этот ряд равномерно совпадает на всей числовой оси, поэтому его можно почленно интегрировать на произвольном промежутке. Интегрируя данный ряд, получим Это знакочергуючий стр. Поэтому, с точностью до, имеем
2. Вычислить интеграл
Здесь первоначальная не является элементарной функцией. Для вычисления этого интеграла воспользуемся рядом (2.42), заменив на:
.
Интегрируя обе части равенства в пределах от до, получим:
С помощью этого равенства можно при произвольном вычислить данный интеграл с произвольной точностью.
3. Вычислить с точностью до 0.0001, где
Заменяя в ряду (13.55) на, получим
Интегрируя почленно в пределах от до получим
Тогда
Это знакопеременный ряд и, поскольку,, то с точностью до
вычислим
13.15. Интегрирования дифференциальных уравнений с помощью рядов
Если интегрирования дифференциальных уравнений не сводима к квадратур, то применяют приближенные методы интегрирования уравнения. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора. Сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно представлять искомый частное решение.
Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения второго порядка
(13.66)
что удовлетворяет начальному условию
(13.67)
Предположим, что решение существует и представляется в виде ряда Тейлора (13.52):
Исходя из уравнения (13.66) и условий (13.67), можно найти то есть значение производных от частных решений при
Действительно, из условий (13.67) следует, что
С уравнения (13.66) получим:
Дифференцируя обе части уравнения (13.66) по
()
и подставляя значения в правую часть. получим
Дифференцируя соотношение () еще раз, найдем:
и т. д.
Пример 1. Записать три первые, отличных от нуля, члены разложения в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения
,
удовлетворяющий начальное условие
Р а з в 'я из о к. Решение данного дифференциального уравнения запишем в виде ряда по степеням
С уравнения находим Дифференцируя уравнение по получим
и
и
Тогда
Если уравнение линейное, то удобнее искать коэффициенты расписания частных решений по методу неопределенных коэффициентов.
Для этого ищем решение в виде степенного ряда
,
подставляем его непосредственно в дифференциальное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в разных частях уравнения.
Пример 2. Найти первых 5 членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
с начальными условиями
Р а з в 'я из о к. Запишем решение уравнения в виде степенного ряда
Продифференцируем его почленно два раза
В силу начальных условий Подставляем и в дифференциальное уравнение (для используем ряд (13.56)):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим систему уравнений
с которой последовательно находим
и т. д.
Тогда

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.