Шпаргалка Интегральное исчисление часть 3, тостер Polaris

Последствия: 1) Определенный интеграл с переменным верхним пределом от ф-ии f (x) является одним из первоначальных для f (x). 2) Любая непрерывная ф-ия на промежутке [a; b] имеет на этом промежутке первоначальную, которую, например, всегда можно построить в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема (Ньютона-Лейбница): Если ф-ия f (x) — непрерывная для x [a; b], то определенный интеграл от ф-ии f (x) на промежутке [a; b] равна прироста первоначальной ф-ии f (x) на этом промежутке, то есть:

где F "(x) = f (x)

Связь между определенным и неопределенным интегралами можно представить такой равенством:

Следствие: Для вычисления определенного интеграла достаточно найти одну из первоначальных подынтегральной ф-ии и выполнить над ней двойную подстановку.


Вы хотите подарить полезный подарок на свадьбу? Вот тостер Polaris на opt.expert, большой ассортимент.

4. Метод подстановки в определенном интеграле

Теорема: Если: 1) f (x)  — непрерывная для x [a; b]; 2) () = а, () = b; 3) x = (t) и "(t) — непрерывные для t [ ; ]; 4) при t [ ; ] x [a; b], то

Примечание: При замене переменной интегрирования в определенном интеграле меняются пределы интегрирования и поэтому нет необходимости возвращаться к исходной переменной.

5. Интегрирование частям в определенном интеграле

Теорема: Если ф-ии u (x) и v (x) имеют непрерывные производные для x [a; b], то

ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА

1. Несвойственные интегралы с бесконечным промежутком интегрирования

Пусть f (x) интегрируема для любого конечного b [a; + ), Так что существует.

Определение: Граница при b + называется несвойственным интегралом от ф-ии не бесконечны промежутке [a; + ) И обозначается

Если эта граница конечна, то несвойственный интеграл называется сходящимся, а если не существует (в том числе бесконечная), - расходящимся.

Считая, что f (x) - интегрируема для конечных a и b, формулы для вычисления несвойственных интегралов на бесконечном промежутке имеют вид:

где с = const.

Теорема: Если при x a имеет место неравенство 0 f (x) g (x), то с сходимости интеграла получается сходимость интеграла, или с расхождения следует расхождение.

2. Вычисление несвойственных интегралов от разрывных (неограниченных) функций

Пусть f (x) непрерывна на промежутке (a; b] и при x = a имеет разрыв 2-го рода.

Определение: называется несвойственным интегралом от разрозненной (неограниченной) функции f (x) .

Если эта граница существует — интеграл сходится , если нет — расходящийся.

Для вычисления таких несвойственных интегралов используют следующие формулы:

1) x = a — точка разрыва f (x), < / p>

2) x = b — точка разрыва f (x)

3) x = c (a; b) -точка разрыва f (x)

Замечание: в несвойственных интегралов, которые имеют точку разрыва, является внутренним для [a; b] нельзя применять формулу Ньютона-Лейбница.

3. Понятие двойного интеграла

Определение: Если существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек M < / I> i , то эта граница называется двойным интегралом от функции трех переменных u = f (x, y, z) в трехмерной области D , который обозначается так:

По такой схеме можно построить n кратный интеграл n переменных u = f (M), M (x 1 , x 2 ,., x n ,) в соответствующей области D .

Свойства двойного интеграла:

1

2.

3. если D = D < I> 1 D 2 D 1 D 2 = .

4. S — площадь области D .

4. Вычисление двойного интеграла сведением к повторному интеграла

Определение: Область D называется правильной по отношению к некоторой оси, если любая прямая параллельна этой оси пересекает границу области не более чем в двух точках.

5. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле

Теорема: Если ф-ия f (x; y) непрерывна в области D , а ф-ии < I> x = (u; v) , y = (u; v) дифференцируемы и устанавливают взаимно-однозначное в системе Ouv , и при этом их якобиан сохраняет неизменным свой знак в области D , то имеет место формула:

6. Понятие криволинейных интегралов первого и второго рода

Криволинейный интеграл первого рода

Определение

называется криволинейным интегралом первого рода, если эта граница существует и не зависит ни от способа разбиения дуги L на элементарные дуги, ни от выбора в них точек M i .

Учитывая формулу вычисления дуги кривой, этот интеграл можно вычислить по формуле:

В трехмерном случае для ф-ии u = f (x; y; z) , когда дуга кривой L задана параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t), z = z (t), t . Формула имеет вид:

Замечание: Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления пути интегрирования.

Криволинейный интеграл первого рода

Если P (x; y) и Q (x; y) < / I> — непрерывные ф-ии, а y = (x) — уравнение дуги гладкой кривой L , которая пробегается при изменении х от а до b , то криволинейный интеграл второго рода выглядит так:

Криволинейный интеграл второго рода меняет свой знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования (т.е. обхода дуги кривой L ).

Криволинейный интеграл второго рода можно рассматривать как интеграл от вектор-функции по дифференциала радиус-векторадугы кривой линии L , то есть

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия

1. Множества точек на плоскости и в n-мерном пространстве.

Множество точек называется связным, якзо любые ее две точки можно соединить ломаной линией так, чтобы все точки этой линии принадлежали этом множестве.

Множество точек называется ограниченной, если ее точки принадлежат множеству точек круга конечного радиуса.

Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенство (x1-x10) 2+ (x2-x20) 2+. + (xn-xn0) 2 < 2 называется -около точки P 0 (x 1 0 , x < / I> 2 0 ,., x n 0 ) .

Примечание: в случае двумерного пространства это неравенство можно представить в виде: (х-х0) 2 + (у-у0) 2 < 2.

Точка внутренняя для множества точек, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторым своим -около и внешняя, если существует ее окрестность из точек, ни одна из которых на принадлежит этому множеству.

связным множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытой областью (или просто областью).

Точка наз. предельной для области если в любом ее -около найдутся точки, не принадлежащие области. Множество предельных точек наз. пределом области.

Область объединенная со своей границей называется замкнутым области.

Множество выпуклая, если любые точки множества можно связать отрезком.

2. Определение ф-ии многих переменных

Если каждой точке Р (х1, х2,., Х) множества D n- мерного пространства поставлено в соответствие с некоторым законом одно и только одно число z E R говорится, что в области D R n задано функцию n независимых переменных z = f (x 1 , x 2 ,., x n ) < / I>. При этом D называют областью ф-ии, Е областью значений ф-ии.

3. Способы задания ф-ии

Ф-ию двух переменных можно изобразить

  • аналитически (в виде формулы)

  • таблично (в виде таблицы)

  • графически

Линией уровня наз. множество всех точек плоскости, в которых ф-ия z = f (x; y) приобретает одинаковых значений.

Уравнение линий уровня записывают в виде f (x; y) = C .

4. Граница ф-ии двух переменных

Число В называется пределом ф-ии z = f (x; y) при х x0, y y0, если для любого > 0 существует число > 0 такое, что при выполнении неравенства 0 <(xx 0 ) 2 + (yy < / I> 0 ) 2 < 2 выполняется неравенство | f (x; y) -B | < и обозначается

Замечание: Для ф-ии многих переменных справедливы теоремы о границе суммы, произведения или частицы, аналогичные соответствующим теоремам для ф-ии одной независимой переменной.

5. Непрерывность ф-ии двух переменных

Ф-ия z = f (x; y) называется непрерывной в точке P0 (x0; y0), если

Ф-ия называется непрерывной в области (замкнутой или открытой), если она непрерывна в каждой точке этой области.

Теорема: Пусть на множестве D определена сложная ф-ия z = f (x; y) где x = x (u ; v), y = y (u; v) и пусть ф-ии x = x (u; v), y = y (u; v) непрерывные в точке (< I> u 0 ; v 0 ), а ф-ия f (x; y) непрерывна в точке (х0; у0), где x0 = x ( u 0 ; v 0 ), y0 = y ( u 0 ; v 0 ). Тогда сложная ф-ия z = f (x (u; v) y (u; v)) непрерывна в точке ( u 0 ; v 0 ).

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.