Элементы математической статистики Случайные величины и их числовые характеристики

Реферат на тему:
Элементы математической статистики. Случайные величины и их числовые характеристики.
А. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Если производится измерение, или прием сигналов то их уровень величины будет разный, то есть будет меняться хаотично.
Обращаю внимание, что если бы можно было учесть всю совокупность условий реализации испытания, то результат был бы одним и тем же.
случайной величиной называют величину, которая в результате попытки принимает одну и только одну величину, одно значение из возможных, заранее неизвестно и зависит от случайных причин, Которые не могут быть учтены точно.
Например: Снаряд, если его выпускать все время в одних и тех же условиях настройки прицела пушки будет пролет разную расстояние.
Будем дальше обозначать случайные величины большими буквами X, Y, Z, тогда как конкретные значения данных величин в определенной реализации малыми буквами: x1, x2 ...
y1, y2 ...
z1 , z2 ...
дискретные и непрерывные случайные величины.
дискретные случайные величины могут Принимать вполне определенные изолированные друг вот вторая значения от попытки к попыткам.
Ниссан пачфайндер — где в москве можно удалить сажевый фильтр без проблем

Например: Количество работающих в данный момент телефонных линий связи. Понятно, что каждое дискретное значение имеет свою вероятность появления. Число возможных значений может быть, как конечным так и безграничным.
непрерывной называют случайную величину, которая может Принимать произвольное значение из конечного (а в), или неограниченно промежутка значений.
Б. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Ясно, что для определения дискретной случайной величины необходимо указать Не только конкретную множество возможных значений, а и множество соответствующих вероятностей. То есть каждому значению X и дискретной случайной величины ставится в соответствие вероятность ее появления.
X1 P1
X2 P2
. ...
Xn Pn
...
Это делать необходимо по ту причине, что данная
величина Во втором процессе хотя и будет реализоваться один и тот же набор {Хи} может иметь совершенно другой набор вероятностей {Ри}.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностью.
Эту взаимосвязь можно задать графически, аналитически (в виде функции) и таблично.
X X1 X2 ...
P P1 P2 ...
P (xi) = f (xi) x есть N
Графическое изображение закона распределения, называется многоугольником распределения.
В. Примеры: биномиальное закон распределения. Закон распределения Пуассона.
1) Биномиальные закон.
Пусть выполняется «n» испытаний из которых событие А может выполняться с вероятностью p, либо НЕ выполняться с вероятностью q = 1 — p.
В качестве дискретной случайной величины выделяя число реализации события X.
Для решения задачи по Нахождение закона распределения количества позитивных событий А при «n» опытах необходимо установить набор возможных значений и их вероятность.
Ясно, что в данной задаче Х = {0, 1, 2, 3,., n} Возможные значения.
Соответствующие вероятности:
Формула (*) является аналитическим выражением искомого закона распределения.
биномиальнымы законом распределения называют распределение вероятностей, задается формулой Бернулли.
Тогда закон распределения
.
2) Распределение Пуассона.
Пусть сбываются «n» испытаний, в которых с вероятностью «p» может появится событие A.
Если «n» большое число, то вычислить с помощью биномиального распределения трудно из-за факториалов. Можно воспользоваться асимитатичною формуле Лапласа. Но данная формула не подходит, если вероятность реализации события А должна
р <0,1.
Для этого случая вероятность можно рассчитать с помощью асимитатичноы формулы Пуассона.
И так, пусть число попыток «n» большое, а вероятность события для одной попытки имела p> 1, то можем перейти к границе
почленно разделим
Эта формула выражает закон распределения Пуассона.
Г. Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины, их свойства и функция распределения (кривая распределения).
Интегральная функция распределения, или просто функция распределения переменного Х называется вероятностью того что случайная величина их не придет в интервал.
Функция является НЕ убывающей, положительно определенной, при
; для.
Для дискретных случайных величин функция распределения ступенчатой, причем непрерывная слева! Граница ступени принадлежит следующем интервала.
Характерный график
Существует еще одно определение функции распределения непрерывной случайной величины.
Случайная величина? называется непрерывной, если существует неотъемлемая функция P? такая, что для любых х является R функция распределения будет иметь вид (можно представит как)
Тогда называется цельностью распределения вероятности или плотностью распределения.
Легко видеть, что
 — является дифференциальной функцией распределения.
Свойства
1)
4) Если в точке х функция непрерывно, то
.
Существуют 2 задачи теории вероятности.
1) функцию распределения для произвольного значения «х»
2) то значение х0, при котором — заданной
вероятности.
В этом случае х0 -называют квантиллю, что соответствует заданному уровню «P».
квантиль, что соответствует называется медианой распределения.
Характерный график плотности вероятности, плотности распределения, дифференциальной функции распределения
мада распределения, еще значение случайной величины ?, которое имеет наибольшую вероятность. Если плотность имеет одну Маду он унимадальний.
Вероятностный смысл плотности распределения.
Пусть — интегральная функция распределения случайной величины Х. Тогда плотность вероятности
, или же
Разница — это вероятность того, что случайная величина попадет в интервал.
попадания в интервал
х
, потому что.
Д. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
Математическое ожидание момент первого порядка.
1) Пусть? — Дискретная случайная величина с законом распределения
? x1 x2 ... xn ...
p p1 p2 ... pn ...
Математическим ожиданием М (?) этой случайной величины называют сумму ряда
M (?)= X1p1 + x2p2 + ... + xnpn + ... =
2) Если? — Непрерывная величина с плотностью вероятности P? (x), то математическим ожиданием называется число
Математическое ожидание обладает свойствами:
1. Если (?) — Непрерывная случайная величина с плотностью p? (x) — непрерывная то
(x) dx.
В случае дискретные величины
M ((?))=.
2. Mc = c, если c = const.
3. M (c?)= CM?,
4. M (? +?)= M? + M (?), Где? и? — Случайные величины.
5. Если? и? — Независимые, то
M () = M (?) M (?)
6. M (? — M (?))= 0, так как M (?) — M (M (?))= M (?) — M (?)= 0
Математическое ожидание это среднее значение данной случайной величины, центр ее распределения. Однако для описания случайной величины этого не достаточно. Потому что
[M (?)]= [?]; где [M (?)] — размерности.
Поэтому вводят числовую характеристику, которую называют дисперсией (момент второго порядка).
Дисперсией D (?) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания
D (?)= M [(? - M (?)) 2]
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю
Dc = 0. Действительно M (? — M (?)) 2 (cc) 2 = 0
2. Постоянный множитель можно исключить
D (?c) = c2D (?).
3. Если? и? — Независимые случайные величины, то
D (? +?)= D? + D?.
4. D?= M (?2) + M (?) 2.
Действительно. M (?2 февраля?M (?)+ (M (?)) 2 = M (?2) — 2M (?) M (?)+ (M (?)) 2 = M (?2) — (M?) 2
В случае дискретной случайной величины
D (?)=,
А в случае непрерывной
D (?)=
Размерности
[D (?)]= [?2].
Среднее квадратическое отклонение
? =; [?]= [?].

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.