Условные законы распределения составляющих систем двух случайных величин Зависимые и независимые величины

реферат
на тему:
Условные законы распределения составляющих систем двух случайных величин. Зависимые и независимые величины
ПЛАН
Выступая
1. Классификация случайных величин и их функции распределения
2. Функции распределения случайных величин и их свойства
3. Операции над случайными величинами
Список использованной литературы
Выступая
Понятие события в теории вероятностей представляет собой абстрактную модель некоторой качественный признак, выражающий собой лишь два альтернативных суждения — есть событие, или нет ее. Дальнейшее развитие теории вероятностей требовал введения такого нового понятия как случайная величина — абстрактной модели количественного признака. Так, например, подбрасывая игральный кубик, мы заранее не можем определить, сколько очков выпадет — 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Поэтому эти числа можно интерпретировать как случайные события или возможные значения величины, которую дальше мы будем называть случайным.
http://www.kreditnews.ru

1. Классификация случайных величин и их функции распределения
Определение 1. Случайной будем называть величину, которая в результате испытания принимает определенные случайные значения.
Будем обозначать случайные величины большими буквами и т.д., а их возможные значения — соответственно строчными буквами.
Случайные величины можно разделить на дискретные и непрерывные зависимости от значений, которые они могут приобретать.
Определение 2. Дискретной называют случайная величина, которая может принимать многочисленными конечное или бесконечное множество значений с определенными вероятностями.
Нередки дискретные случайные величины, которые могут принимать только целочисленные значения. По типичные примеры таких дискретных случайных величин можно указать на число бракованных деталей в выборке, число вызовов, поступающих на телефонную станцию, число станков, требующих ремонта в смену и т.
задают дискретные случайные величины с помощью закона распределения, когда задаются вероятности их возможных случайных значений и значение случайных величин.
Дискретный распределение считается заданным, если известны все возможные значения, принимаемые случайной величиной и вероятности для каждого события. Это можно сделать табличным, аналитическим (в виде формулы) и графическим способами. При табличном заданные распределения возможные значения случайной величины и их вероятности записываются в виде таблицы 1:
Таблица 1
.
.
Принимая во внимание, что при испытании принимает только один из возможных значений, имеем, что события образуют полную группу, то есть:
. (1)
Отсюда для вероятностей распределения случайной величины должно выполняться соотношение:
. (2)
Особого внимания заслуживают дискретные случайные величины, возможные значения которой являются последовательные неотъемлемые целые числа 0, 1, 2,. Такие величины достаточно часто описывают реальные задачи.
зависимости от того, по какой формуле будут исчисляться вероятности, эти законы будут иметь свое название:
 — равномерное распределение на множестве;
 — гипергеометрический закон распределения;
 — геометрический закон распределения;
 — биноминального закон распределения;
 — распределение Пуассона.
Определение 3. Непрерывной называют случайную величину, которая принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
К непрерывных случайных величин можно отнести ошибки вычислений, температуру тела человека, рост новорожденного ребенка и тому подобное.
Поскольку непрерывная случайная величина принимает все значения из некоторого интервала, то с помощью таблиц, как это было сделано для дискретных величин, ее задать нельзя. Задают непрерывные случайные величины аналитически с помощью интегральной или дифференциальной функций распределения вероятностей. Можно задавать также непрерывные случайные величины графически.
2. Функции распределения случайных величин
и их свойства
Определение 4. Вероятность события, заключается в том, что примет значение меньше, то есть, будем называть интегральной функцией распределения или функцией распределения случайной величины. Обозначают интегральную функцию символом.
Итак, согласно определению, интегральная функция распределения задается формулой:
. (3)
Интегральная функция обладает следующими свойствами:
1);
2) — неубывающая функция, то есть, если.
3) вероятность того, что случайная величина принимает значения из интервала, вычисляется по формуле:
. (4)
непрерывной случайной величины задают также с помощью дифференциальной функции распределения.
Определение 5. Дифференциальной функцией распределения называют первую производную от интегральной функции распределения.
обозначают дифференциальную функцию распределения так: и вычисляют по формуле:
. (5)
В литературе вместо термина «дифференциальная функция распределения» употребляют также термин «плотность» или «плотность распределения».
По определению функции вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала, вычисляется по формуле:
. (6)
Пользуясь геометрическим толкованием указанного интеграла, формуле (6) можно дать такую ​​интерпретацию: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала, равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, координатами и и функцией (рис. 1).
Рис. 1
Дифференциальная функция f (x) аналогично интегральной функции обладает следующими свойствами:
1 Дифференциальная функция — неотъемлемая;
2 Несобственный интеграл от дифференциальной функции на всей числовой оси равен единице (условие нормирования):
. (7)
Таким образом, мы определили дифференциальную функцию распределения с помощью интегральной — . Обратная задача также решается однозначно, а именно, если событие переписать в виде и использовать формулу (6), то:
. (8)
зависимости от формы записи функций, неперевни
случайные величины могут задавать такие законы распределения, как:
 — равномерный закон распределения на отрезке;
 — показательное закон распределения;
 — нормальный закон распределения и т.д.
3. Операции над случайными величинами
Над случайными величинами можно проводить такие же операции, как и над случайными событиями. Пусть задано случайные величины и своими законами распределения (табл. 2).
Таблица 2
Определение 6. Объединением случайных величин Х и Y называем случайную величину, возможные значения которой равны суммам всех возможных слагаемых, а вероятности случайной величины для независимых величин и — произведения вероятностей, для зависимых величин — произведениям вероятностей одной из них на условную вероятность второй.
Если при расчетах некоторые суммы возможных значений одинаковы, то возможное значение Z записывают один раз, вероятность его равна сумме вероятностей одинаковых значений.
Определение 7. Сечением независимых случайных величин X и Y называют случайную величину, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений и — , вероятности которых также перемножаются.
Таким образом, законы распределения случайных величин и по законам, по данным таблицами 2, имеют вид (табл. 3, 4):
Таблица 3
Таблица 4
Кроме операций объединения и приятно введем для случайной величины понятие функции одного случайного аргумента.
Если каждому возможному значению величины соответствует одно возможное значение случайной величины, то называют функцией случайного аргумента и записывают в виде:
.
Для дискретной случайной величины, как и при операции объединения и пересечения, нужно помнить, что если есть одинаковые возможные значения, то их записываем один раз, а соответствующие вероятности добавляются
Список литературы
1. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — М .: Наука, 1987.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М .: Наука, 1969.
3. Сборник задач по математике для вузов. Специальные курсы / Под ред. Ф.Э. Ефимова — М .: Наука, 1984.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.