Функции многих переменных часть 1

Реферат на тему:

Функции многих переменных

Множества точек на площинита в n-мерном о стори

упорядоченного паре чисел на координатной плоскости соответствует одна точка. Аналогично, в n -вимирному пространстве n упорядоченным действительным числам соответствует одна точка, где числа будут координатами этой точки. С целью сокращения записи далее будем рассматривать множества точек на плоскости, но представленные далее определение можно считать правильными и в случае n -вимирного пространства.

Определение . Множество точек называется связной , если любые две ее точки можно соединить ломаной линией так, чтобы все точки этой линии принадлежали этом множестве.

Пример. На рис. 5.1 в случае а) будет связная множество, а в случае б) НЕ связная.

а ) б )

Рис. 5.1

Определение . Множество точек называется ограниченной , если все ее точки принадлежат множеству точек круга конечного радиуса.


здесь

Пример . На рис. 5.2 в случае а) имеем ограниченную множество, а в случае б) неограниченное.

а ) б )

Рис. 5.2

Определение . Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенство

(5.1)

называется -около точки .

Замечания . В случае двумерного пространства неравенство (5.1) можно представить в виде

(5.2)

Рис. 5.3

Она означает внутренность круга с радиусом и с центром в точке (рис. 5.3).

Если с -около точки удалим самую точку, получим выколот -окил точки.

Определение .Точка называется внутренней для множества точек, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторым своим -около, и внешней , если существует ее окрестность из точек, ни одна из которых не принадлежит этому множеству.

Определение . Связная множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытой областью (или просто областью ).

Область обозначать

.

(Читаем: область D является множество точек плоскости с координатами ( х ; в ), таких что

В частном случае, когда D прямоугольник, область обозначать

.

Пример. На рис. 5.4 множество точек D область

.

Определение . Точка называется предельной для области, если в любом ее -около существуют точки, не принадлежащие области и принадлежат ей.

Определение. Множество предельных точек называется границей области .

Определение . Область, объединенная со своей границей, называется замкнутой областью .

Пример. На рис. 5.5 замкнутая область, уравнение границы области, К внутренняя, L внешняя, М предельная точка.

Определение . Множество называется выпуклой , если любые точки множества можно связать отрезком, который будет принадлежать этому множеству.

Рис. 5.4 Рис. 5.5

5.1.2. Определение функциибагатьох переменных

Определение . Если каждой точке множества D n -вимирного пространства поставлено в соответствие по некоторому закону одно и только одно действительное число, то говорят, что в области задано функцию n независимых переменных. При этом D называют областью определения функции , Е областью значений функции .

Согласно определению функцию можно рассматривать как функцию точки и записывать.

В частности, при n = 2 говорят, что задана функция двух переменных, если каждой паре на плоскости поставлены в соответствие только одно число z . Для прикладных вопросов экономики важно рассмотрение функции двух или трех независимых переменных. Поэтому в дальнейшем больше внимания обращать на эти функции.

Приведем примеры функции двух переменных.

Пример. Расходами на производство данного изделия при данной технике производства является функция материальных затрат x и расходов на оплату рабочей силы y :.

Это функция издержек производства .

Пример. Рассмотрим функцию двух независимых переменных K , L , которая называется функцией производства , или функцией Кобба Дугласа , где K количество капитала, L количество труда, которое вложено в производство.

Пример. Предположим, что предметами потребления будут два товара А и В , цены которых соответственно составляют p 1 и p 2. Если цены других товаров стали, а прибыль потребителей и структура потреблений не меняются, то спрос и предложение каждого из товаров зависит от их цен.

Есть функцию спроса на товар А :; функцию спроса на товар В :; функцию предложения товара А :; функцию предложения товара В :.

Способы задания функции

Как и функцию одной переменной, функции двух переменных можно изобразить

аналитически (в виде формулы), например:

таблично (в виде таблицы), например:

< td>

2

в

х

1

2

3

4

1

1

3

4

2

2

4

< / TD>

6

8

3

3

6

9 < / p>

12

4

4

8

12

< p> 16

таблицей задана функция;

графически

Для графического изображения функции двух переменных используем систему координат Оxyz в трехмерном пространстве (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Каждой паре чисел x и y соответствует точка плоскости Оxy . В точке проводим прямую, перпендикулярную к плоскости Оxy и обозначаем на ней соответствующее значение функции z ; получаем в пространстве точку Q с координатами, которая обозначается символом. Точки Q , соответствующие разным значениям независимых переменных, образующих определенную поверхность в пространстве. Такая поверхность является графическим изображением функции .

Замечания . На практике построить график функции трудно, ведь речь идет об изображении на плоскости пространственной фигуры, а это не всегда удается.

Пример. Графическое изображение функции является плоскость, проходящая через точки (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0) (рис. 5.7).

Рис. 5.7 Рис. 5.8.

Графическое изображение функции является полушарие (рис. 5.8).

Существует и другой способ геометрического изображения функции двух переменных изображения с помощью линий уровня .

Определение . Линией уровня называется множество всех точек плоскости, в которых функция принимает одинаковых значений.

Уравнение линий уровня записывают в виде.

Нанеся несколько линий уровня и отметив, которых значений приобретает на них функция, получим приближенное представление об изменении функции. Элементарный пример изображения функции с помощью линий уровня является изображение рельефа местности на географической карте. Высота местности над уровнем моря является функцией координат точки земной поверхности. По линиям уровня высоты, нанесенными на карту, легко представить себе рельеф данной местности.

Нахождение области определения функции двух переменных

Покажем алгоритм нахождения области определения функции двух переменных на примере.

Пример. Найти область определения функции и предоставить ей геометрическую интерпретацию.

1. Найдем область определения функции аналитически

.

2. Неравенства в D заменяем равенствами и строим линии, им отвечают на координатной плоскости, а именно:; .

Рис. 5.9

3. Определяем с помощью контрольных точек, размещенные D на плоскости и заштриховываешь ее (рис. 5.9).

Предел функции двух переменных

Определение . Число B называется пределом функции при, если для любого существует число такое, что при выполнении неравенства выполняется неравенство и обозначается или.

Замечания . Для функции многих переменных справедливы теоремы о границе суммы, произведения и частного, которые ана-ческие соответствующим теоремам для функции одной независимой переменной.

Приведем формулировку соответствующих теорем.

Теорема 1 . Если функция имеет предел при, то она единственная.

Теорема 2 . Если функция имеет предел при, то она ограничена в некоторой окрестности точки.

Теорема 3 . Если

и в некоторой окрестности точки выполняется неравенство, то.

Теорема 4 . Пусть,. Тогда

1);

2);

3).

Пример. Вычислить.

Согласно теоремами о арифметические операции с границами, а также то, что граница постоянной равна постоянной, то есть, имеем

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.