Связь между пуассоновским и экспоненциальным законам

реферат
На тему:
Связь между пуассоновским и экспоненциальным законами
Можно доказать, что промежутки времени между двумя событиями в Пуассоновский потоке с интенсивностью имеют экспоненциальный закон распределения.
Чтобы доказать эту важное свойство пуассоновского потока, заметим, что время, которое проходит между моментами наступления двух последовательных случайных событий, будет меньше t только в том случае, когда при этом не наступит ни одно событие.
Пусть Т — промежуток времени, в течение которого может произойти одна и более событий. Тогда случайное событие означает, что на этом промежутке может произойти событий потока Пуассона, а именно:
или
(163)
Правая часть (163) является функцией распределения для экспоненциального закона с параметром, а потому
Что и требовалось доказать.
Важным свойством экспоненциального закона является отсутствие последействия. Это же свойство присуще пуассоновского потока.
Предположим, что событие наступило в момент времени Нужно определить закон распределения времени до появления следующего события пуассоновского потока.
Пусть после момента прошло секунд, в течение которых не наступила ни одно из событий.
Хотите сделать подарок мужу? Часы — отличный подарок — деловые дя бизнесмена, спортивные для спортсмена.
Возникает вопрос: какова вероятность того, что следующее событие произойдет через t секунд, когда отсчет времени начать с момента
Пусть — условная вероятность того, что событие не произойдет в течение времени при условии, что этот промежуток времени будет
Тогда , воспользовавшись формулой условной вероятности, получим:
Итак, имеем:
(164)
Это означает распределение времени, которое осталось до появления следующего события, при условии, что с момента наступления события за прошло секунд, тождественно равна безусловном закона распределения вероятностей промежутков времени между соседними событиями пуассоновского потока. Это дает основания полагать, что время до появления следующего события не будет зависеть от того, сколько его прошло с момента появления предыдущего события.
Чтобы подробнее выяснить, в чем заключается отсутствие последействия, рассмотрим график плотности вероятностей, приведенный на рис. 26.
Рис. 26
С той целью, чтобы после того, как пройдет секунд, определить плотность вероятностей времени, которое осталось до появления следующего события, необходимо рассмотреть область, которая размещена справа от (на рис. 26 эту область заштрихованы), поскольку она определяет вероятностную картину в будущем. Область, которая лежит на отрезке [0; t1], определяет прошлое процесса и уже не содержит каких-либо неопределенности.
Для того чтобы заштрихованную область свести к виду стандартного для плотности вероятностей экспоненциального закона, необходимо выполнить нормирования так, чтобы заштрихованная площадь равна единице:
Новая функция является точной копией исходной функции Итак, произвольный «хвост» плотности вероятностей повторяет форму исходной функции.
Отсутствие последействия присуща только экспоненциальному закону распределения, и это свойство можно использовать для определения вероятности появления события в малом промежутке времени при условии, что процесс находится в точке
соответствии получаем:
Итак,
(165)
Равенство (165) означает: когда событие до момента времени не состоялась, то вероятность того, что она состоится в промежутке времени, будет такой:
Вероятность того, что событие в промежутке времени не произойдет подается так:
.
Итак,
=. (166)
Тогда, учитывая (165) и (166), находим вероятность того, что за малый промежуток времени состоится событий:
=
= + =
Отсюда имеем < br /> = (167)
где.
Из приведенных только соображений следует, когда промежутки времени между событиями имеют экспоненциальный закон распределения вероятностей, то это дает нам основание утверждать, что поток событий, которые происходят в случайные моменты времени, будет пуассоновским.
Об этом свидетельствует тождество формул (139) — (141), полученных для пуассоновского потока и формул (165) — (167), полученных для экспоненциального закона распределения промежутков времени между соседними событиями.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.