Свойства решений линейных однородных систем

Реферат на тему:
Свойства решений линейных однородных систем
Свойство 1. Если вектор является решением линейной однородной системы, то и, где — постоянная скалярная величина, также является решением этой системы.
Действительно, при условии
.
Но тогда и
поскольку равна нулю выражение в скобках. То есть решением однородной системы.
Свойство 2. Если две векторные функции, являются решениями однородной системы, то и их сумма также будет решением однородной системы.
Действительно, при условии
и
Но тогда и
том равными нулю выражение в скобках, то есть решением однородной системы.
Свойство 3. Если векторы, ..., являются решениями однородной системы, да и их линейная комбинация с произвольными коэффициентами также будет решением однородной системы.
Действительно, при условии
.
Но тогда и
том равной нулю каждый из слагаемых, то есть решением однородной системы.
Свойство 4. Если комплексный вектор с действительными элементами являются решением однородной системы, то отдельно действительные и мнимые части являются решениями системы.
Действительно при условии
Раскрыв скобки и сделав преобразования, получим
А комплексный выражение равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю действительная и мнимая части, то есть
что и требовалось доказать .
Определение 1. Векторы,, ..., называются линейно зависимыми на отрезке, если существуют не все равны нулю стали, такие, что при.
Если тождество справедлива лишь при, то векторы линейно независимы.
мужской пиджак украина

Определение 2. Определитель, состоящий из векторов
, то есть
называется определителем Вронского.
Теорема 1. Если векторные функции линейно зависимы, то определитель Вронского тождественно равна нулю.
Доказательство. По условию существуют не все равны нулю, такие, что при.
Или, расписав покоординатно, получим
.
А однородная система ненулевой решение тогда и только тогда, когда определитель равен нулю, то есть
.
Теорема 2. Если решения — линейной однородной системы линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю в одной точке.
Доказательство. Пусть, от противного, существует точка и.
Тогда система однородных алгебраических уравнений
имеет ненулевой развязок. Рассмотрим линейную комбинацию решений полученным коэффициентами
.
Согласно свойству 4, эта комбинация будет решением. Кроме того, как следует из системы уравнений, для полученных:,. Но решением, удовлетворяющие следующим условиям, есть. И в силу теоремы существования и единственности эти два решения совпадают, то есть при, или
,
или решения линейно зависимы, что противоречит условию теоремы.
Таким образом, в одной точке, и требовалось доказать.
Теорема 3. Для того чтобы решения были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы в одной точке.
Доказательство. Следует из предыдущих двух теорем.
Теорема 4. Общее решение линейной однородной системы представляется в виде линейной комбинации п -линейно независимых решений.
Доказательство. Как следует из свойства 3, линейная комбинация решений также будет решением. Покажем, что это решение общий, то есть благодаря выбору коэффициентов можно решить любую задачу Коши или в координатной форме:
.
Поскольку решения линейно независимы, то определитель Вронского отличен от нуля. Таким образом, система алгебраических уравнений
имеет единственное решение.
Тогда линейная комбинация
является решением поставленной задачи Коши. Теорема доказана.
Свойство 1. Максимальное число независимых решений равно количеству уравнений.
Это следует из теоремы о общее решение системы однородных уравнений, потому что любой другой решение может быть представлен в виде линейной комбинации линейно независимых решений.
Определение. Матрица, составленная из любых -линейно независимых решений, называется фундаментальной матрицей решений системы.
Если линейно независимыми решениями будут
, ...,,
то матрица
будет фундаментальной матрицей решений.
Как следует из предыдущей теоремы общее решение может быть представлен в виде
,
где — произвольные стали. Если ввести вектор, то общее решение можно записать в виде.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.

Calculos pode produzir em qualquer calculadora e ate mesmo na mente, mas aqui, voce nao precisa cometer excesso de movimentos: basta abrir a pagina e calculatoronliner.com da calculadora realmente muito simples. Nele sao estabelecidas as principais operacoes aritmeticas: adicao, subtracao, multiplicacao e divisao. E o p