Формула Бернулли Теоремы Бернулли, Чебышева, Ляпунова Последовательности независимых испытаний часть 1, телевизоры со склада в Одессе

невозможно рассчитать теоретически, то произвольная функция распределения случайной величины будет лучше или хуже описывать данную систему.
Однако, если опытов делать очень много, а случайная величина является непрерывной, то, как оказывается, все они описываются одной функцией распределения, так называемым нормальным законом распределения случайной величины, который описывается плотностью, плотностью.
Как видим, данная функция распределения задается двумя параметрами «а» и «?», То есть зная их можно задавать f (х).
Вычислим математическое ожидание случайной величины с нормальным законом распределения:
Введем безразмерную переменную.
телевизоры со склада в Одессе

Z = и тогда х =?z + a.
и область интегрирования — ?, + ?.
Тогда:
Первый интеграл равен нулю, так как функция нечетная, а границы симметричны.
Используя содержание интеграла Пуассона:
(2)
получаем, что М (х) = а (3)
Итак, параметр «а» является математическим ожиданием случайной величины.
Вычислим дисперсию случайной величины
Введем безразмерную переменную.
Z = и тогда х-а =?z,.
Тогда D (X) = (5)
Интегрируем по частям
u = z,,.
(6)
Поскольку по определению, то есть среднеквадратичным отклонением случайной величины, следовательно, а = М (Х) — математическое ожидание, — среднее отклонение.
Влияние параметров «а» и? на графическую зависимость х) =
Площадь под заданной кривой равна 1, так.Функция симметрична относительно точки х = а.
Максимальное значение? (х) будет всегда при х = а; причем чем меньше значение?, тем уже есть пик функции распределения. Понятно, что при росте? функция будет расплываться так, что.
Если случайная величина имеет а = 0, то есть одинаковыми являются вероятности попадания величины в окрестности точек + х0 и -х0 то функцией распределения, плотностью, плотностью вероятности будет функция х) = (7)
Такой функцией распределения описывается белый шум.
Интегральной функцией распределения
Понятно, что когда а = 0, а?= 1 — она ​​табулированных.
Легко проверить, что F (x) = F0!
Вероятность попадания нормированной величины Х в интервал (0, x) можно найти, пользуясь функцией Лапласа
Действительно,.
Если учесть, что функция х) парная и симметрична относительно точки х = 0, то
Итак,!
Тогда F0 (x) = 0,5 + ф (х). Эта формула связывает две функции F0 (x) и ф (х) (и та, и другая табуьовани.)
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины
Уже известно, что когда плотность закона распределения f (x), то вероятность, что случайная величина Х попадет в интервал (?,?) может исчисляться выражением
(1) бу.
Для упрощения интеграла введем безразмерную переменную; dx =?dz
После замены Например. Физическая величина является случайной с нормальным законом распределения. Найти вероятность того, что величина попадет в интервал (10,50). Если математическое ожидание 30, а дисперсия 100 (?= 10). Тогда
Правило трех «?». Мы уже знаем, что степень распыления случайной величины у ее значение «а» определяется «?». Спрашивается, если известно а и?, Где в основном будет находиться случайная величина. Оказывается, что, когда интервал изменения случайной величины будет
| xa | <36, то вероятность попадания в данный интервал практически равна "1".Действительно
P (| xa | <36) = 2ф3 = 2 * 0,49865 = 0,9973?1
То есть, если белый шум характеризуется среднеквадратичным отклонением?, То случайная напряжение практически всегда будет колебаться в пределах -36 и если область изменения «X» это означает, что для всех X 0 имеет место неравенство
Доказательство. Рассмотрим случайную величину она положительно определена, тогда выписывается неравенство (?)
Заметим, что неравенство> 1 эквивалентна неровности!
;
тогда. Но, поскольку переменная или или меньше? , То ясно, что.
Теорема Чебышева. Пусть?1, ...,?n — попарно сопряженные случайные величины с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, ограниченными одним и тем же числом
D (?i)? Ci; i = 1, 2, ...
Тогда (?1+?2 + ... +?n) / n a.
Согласно свойствами математического ожидания параллельных величин
M () = [M (?1) + M (?2) + ... M (?n) +] = a
Аналогично для дисперсий
D () = [D (?1) + D (?2) + ... D (?n) +]? =.
Итак D () =;
Тогда можно записать неравенство Чебышева
P {| — A | Если же n, то очевидно, что P {| — A | То есть, если опытов делать очень много, то среднее арифметическое значение приближается к математического ожидания до реального значения измеряемой величины, при этом дисперсия 0
В этом заключается закон больших чисел.
Теорема Бернулли.
Пусть? — Число появлений события А при «n» последовательных независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна «p», тогда p.
Доказательство. Если? k — число успехов при «k» испытании, то
? =? 1 +? 2 + ... +? n
При этом? (? k) = p. D (? k) = pq = p (1 — p) = p — p2 = — (p -) 2? , (K = 1, ..., n).
Поэтому для? k выполняются условия теоремы Чебышева, следовательно
P (| — p | Итак. Если количество опытов D, то среднеарифметическое значение результатов каждого стремится к математического ожидания, а частота появления стремится к вероятности появления события А.
Ясно, что действия всех опытов математического ожидания и вероятность появления одна и та же. Это и есть закон больших чисел.
Теорема Ляпунова. (Понятие).
Известно, что нормальный закон распределения очень распространен в природе. Чем же это объясняется? Ответ дал Ляпунов (как центрально грамматическая теорема).
Теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму чрезвычайно мал, то Х имеет распределение, которое чрезвычайно близко к нормальному распределению.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.