Решение системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной

Поисковая работа на тему:
Решение системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. Теорема Кронекера-Капелли, ее применение к исследованию и решения системы линейных алгебраических уравнений.
План
"Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
" Правило Крамера.
"Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы.
" Метод Гаусса.
"Нахождение неотъемлемых решений СЛАУ.
" Теорема Кронекера Капелли.
"Однородные системы.
4.2. Системы линейных алгебраических уравнений
Общий вид системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ с неизвестными запишем так:
(4.1)
Сокращенно ее можно записать
(4.1 /)
Коэффициенты при неизвестных запишем в виде матрицы, которую назовем матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец, который называется столбцом свободных членов. Если теперь через обозначить столбец по неизвестным, то систему (4.1) можно записать в матричном виде
(4.1 //)
Система (4.1) называется однородной, если в правой части все свободные члены равны нулю (нулевая матрица ).
обмен электронных валют

Система уравнений называется неоднородной, если в ее правой части есть хотя бы один отличный от нуля элемент.
Определение. Совокупность чисел называется решением системы (4.1), если каждое уравнение системы превращается в числовое равенство после подстановки чисел вместо соответствующих неизвестных для всех
Система (4.1) может иметь единственное решение, множество развязок или вообще не иметь решений.
Системы, не имеющие решений, называются несовместимыми, а имеющие развязки — совместимыми.
4.2.1. Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными
(4.2)
В этом случае матрица системы квадратная.
Обозначим через определитель матрицы (из коэффициентов при неизвестных)
, (4.3)
а через определитель, получаемый из определителя путем замены го столбца столбцом свободных членов
(4.4)
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными (4.2) отличен от нуля, то система имеет решение и притом единственный, который находится в
формулами
(4.5)
Д в в е д е н и е. Докажем сначала, что какие вычисляются по формулам (4.5), являются решениями системы (4.2). Подставив в произвольное е уравнение системы (4.2), получим
есть, мы показали, что произвольное уравнение системы (4.2) превращается в числовое равенство при розьязках (4.7).
Мы здесь использовали свойства сумм, а также свойство определителей п.1.2.
Докажем теперь единственность решения. Докажем это от противного. Пусть существует еще одно решение Тогда будем иметь
Вычитая от первого равенства вторую, получим
Если решения не совпадают, то хотя бы одна из разниц отличная от нуля. Это означало бы, что столбцы матрицы линейно зависимы, а тогда определитель матрицы будет равен нулю, что противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение неверно. Итак, Теорема доказана.
4.2.2. Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы
Систему (4.2) запишем в матричном виде (4.1 //)
где
Домножившы данную равенство слева на обратную матрицу получим
Итак, разв ' Связь системы (4.4) в матричной форме запишется так:
(4.6)
Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
а) по формулам Крамера; б) средствами матричного исчисления:
а) Вычислим определитель системы
вычислим также
Тогда по формулам Крамера (4.7) получим
б) Запишем систему в матричной форме где
тогда
Найдем обратную матрицу:
,
и
4.2.3. Метод Жордана-Гаусса
В различных областях человеческих знаний (наука, производство, экономика, теория массового обслуживания и т.д.) часто возникают задачи, решение которых приводит к системам линейных уравнений, в которых количество уравнений не обязательно равно числу неизвестных. Неизвестных может быть больше или меньше количества уравнений. Для решения таких систем разработан ряд методов, в том числе и с помощью определителей. Но самый распространенный из них — метод Жордана-Гаусса, который не требует предварительных исследований на совместимость или несовместимость. В процессе решения всегда становится ясно, имеет система решения или нет, единственный ее решение или нет. Поскольку для решения системы уравнений методом Жордана-Гаусса нужно на порядок меньше математических операций, чем при решении по формулам Крамера, то метод Жордана-Гаусса стал основным при построении стандартных программ для современных компьютеров.
Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными (4.1).
Метод Жордана-Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований:
1) умножение уравнения на некоторое число;
2) замена одного из уравнений системы суммой с другим уравнением
той же системы, умножим на некоторое число;
3) удаление из системы уравнений тождеств.
С помощью преобразования 2) можно исключить некоторое неизвестное из всех уравнений системы, кроме одного.
Выберем для этого уравнения с номером 1), содержащее неизвестное:
.
Это уравнение будем называть ведущим, а — ведущим неизвестным. Для исключения ведущего неизвестного из уравнения с номером
добавим к нему ведущее уравнение, умноженное на некоторое число. Тогда получим
. (4.7)
Чтобы исключить неизвестно, приравняем к нулю коэффициент при, то есть Отсюда.
Тогда уравнение (4.7) будет иметь вид
где
(4.8)
Выполнив все эти операции при Выполнив все эти операции при
,
получим систему уравнений, в которой неизвестно содержаться только в -м уравнении, а в других уравнениях неизвестного не будет.
Таким же способом, принимая в качестве ведущего другое уравнение, можно всех прочих уравнений исключить ведущее избранное неизвестно. Продолжая этот процесс до тех пор, пока каждое уравнение побудет ведущим только один раз, придем к системе уравнений вида
(4.9)
В роли ведущего последовательно брались уравнения 1-е и -то, а в роли ведущего неизвестного брались последовательно . Если при этом ни одно уравнение не превращалось в тождество, то понятно, они дальше в процессе преобразования не участвуют и поэтому исключаются из системы.
В этом случае в системе (4.9) количество уравнений будет меньше, чем.
Если описанный процесс проводился в другом порядке, то после его окончания члены в уравнениях всегда можно переставить так, чтобы система приобрела вид (4.9).
В случае, когда в процессе решения системы уравнений где-нибудь левая часть какого-то уравнения обращается в нуль, а права-не равна нулю, то это означает, что система несовместима и поэтому

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.