Частные производные Полный дифференциал

Реферат на тему:
Частные производные. Полный дифференциал
Определение. Пусть задано функцию z = f (x, y) и пусть некоторую точку из области определения этой функции (x, y). Если аргумент x получает прирост dx, а аргумент y — прирост dy, то выражение dz = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) называют полным приростом функции f (x, y).
Определение. Функция f (x, y) называется непрерывной в точке (x0, y0), если
.
Предыдущие определения легко переносятся с случае двух переменных на случай функции от n (n> 2) переменных.
Определение. Величины dxz = f (x + dx, y) -f (x, y) и dyz = f (x, y + dy) -f (x, y) называются частными приростами функции f (x, y).
Определение. Частные (частичной) производной от функции f (x, y) по аргументу x называется предел
(6.1)
частных (частичная) производную от функции f (x, y) по аргументу y определяет его аналогично.
Для частных производных от функции f (x, y) используют следующие обозначения:
fx (x, y); zx; ;
fy (x, y); zy; .
Частные производные и задают направления касательных к поверхности z = f (x, y). Стоит вспомнить, что обычная производная f (x) = задает направление касательной к кривой y = f (x).
Примеры
1. Пусть
Тогда
2. Пусть Q = K0.6 L0.4. Найдем соответствующие частные производные
(Выпуск продукции возрастает с увеличением затрат как капитала, так и труда).
Там

3. Построим вторые частные производные от функции Q = K0.6 L0.4.
(Предельный выпуск продукции приходит с увеличением как затрат капитала, так и затрат труда).
4. Найдем смешанные частные производные второго порядка:
Теорема: Если функция z = f (x, y) и ее производные zx, zy, z xy и z yx непрерывные в точке (x, y) и некоторой окрестности этой точки, то z xy = z yx.
Определение. Полным дифференциалом dz от функции z = f (x, y) называют сумму ее частных дифференциалов:
(6.2)
Пример.
Тогда
Понятие полного дифференциала имеет ряд приложений. Во-первых, величина dz является приростом (по z) касательной плоскости к поверхности z = f (x, y), аналогично тому, как дифференциал dy от функции f (x) является приростом ординаты касательной к кривой y = f (x) (рис. 6.9, а — б).
Zyy = f (x)
z = z (x, y) dy
dz
dy x = dx
dx yx < br /> x
a бы
Рис. 6.9.
Во-вторых, с помощью дифференциала можно оценить погрешность функции от многих переменных, если известны погрешности аргументов:
,
где — погрешности аргументов.
В-третьих, с использованием дифференциала можно находить производные от функций, заданных неявно.
Пример.
Пусть и. Нужно оценить погрешность функции.
Есть
Итак,
Пусть нужно найти производную в том случае, когда функция задана неявно в виде. Взяв от функции F (x, y) полный дифференциал, получаем
откуда.
Пример.
Найти производную если
Есть
откуда.
С помощью неявных производных в экономике определяют предельные нормы (доли, квоты, rate) замены.
Пример. Производственная функция имеет вид Q = 10×1 + 15×2, где x1 и x2 -затраты ресурсов (факторов производства). Нужно найти предельную норму технологической замены ресурса x2 на ресурс x1 (под предельной нормой технологической замены ресурса x2 на ресурс x1 в экономике понимают дополнительное количество ресурса x1, которая компенсирует уменьшение ресурса x2 на единицу). Очевидно, что эта предельная норма (MRTS) технологической замены в непрерывном случае является производной от переменной x1 по переменной x2 при устойчивого выпуска Q:
.
Итак, в случае уменьшения количества ресурса x2 на единицу и одновременного увеличения ресурса x1 на 1,5 единицы выпуск Q останется не зминниться (рис. 6.10).
X2
1
x1
1,5
Рис. 6.10.
Пример. Производственная функция имеет вид Q = K0,6 L0,4 (функция Кобба-Дугласа). Предельная норма (доля) технологической замены труда капиталом в этом случае с
.
Как видно из последней формулы, значение MRTS (marginal rate of technological substitution) для функции Кобба-Дугласа зависит от соотношения K / L.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.