Схемы применения интеграла к нахождению геометрических и физических величин Вычисление площадей плоских фи

Поисковая работа на тему:
Определение и вычисление объема тела по площадям параллельных сечений; объем тела вращения.
План
"Определение и вычисление объема тела
" Вычисление объема тела по площадям его поперечных сечений
"Обчилення объема тела вращения
Вычисление объемов < br /> 1.Вычисление объема тела по его площадям
поперечных сечений
На рис. 10.5 задано тело, ограниченное сверху поверхностью, а также плоскостями,,,.
Пусть надо определить любую площадь сечения тела
плоскостью, перпендикулярной к оси. Выделим в теле частицу, полученную двумя параллельными сечениями, удаленными друг от друга на величину.Тогда объем выделенной части
Интегрируя, получим
(10.5)
Рис.10.5 Рис.10.6
2. Объем тела вращения
Пусть фигура (рис.10.6) вращается вокруг оси. В результате образуется тело вращения. Найдем его объем. Для этого выделим полоску шириной. Его высоту можно взять равной. В результате вращения фигуры вокруг оси полоска опишет цилиндрическое тело высотой с радиусом основания.
обмен электронных валют

Его объем После интегрирования получим
(10.6)
Пример 1. Гиперболический цилиндр пересечен двумя плоскостями, из которых первая перпендикулярна образующей, а вторая проходит через фокус гиперболы пересечения цилиндра первой плоскостью так, что линия ее пересечения с первой плоскостью перпендикулярной оси гиперболы и образует угол с первой плоскостью (рис. 10.7). Найти объем гиперболического отрезка, если расстояние от фокуса гиперболы до ее ближайшей вершины равна
2 м, а длина перпендикулярной к ее оси отрезка, соединяющего две точки гиперболы и проходит через фокус, равна 10 м.
Р а з в 'я из о к. Пусть отрезок
м, м, фокус гиперболы, — одна из веток гиперболы. Обозначим,. Тогда точка матимекоординаты
Итак уравнение гиперболы будет таким:
Подставив сюда координаты точки и, учитывая, что, получим следующую систему уравнений для определения и:
Рис.10.7
Отсюда
С уравнения гиперболы находим (здесь рассматривается
только одна ветка гиперболы при). Пересечем тело плоскостями i, параллельными плоскости. В результате получим кусок толщиной, удаленную от плоскости на расстояние и высотой.Так как бесконечно малая величина, то эту кусок можно считать призмой, высота которой равна. Поэтому ее объем
Отсюда
Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси синусоиды (рис. 10.8).
Р а з в 'я из о к. Отступим здесь от стандартной формулы для вычисления объема тела вращения (см. 10.6), так как она, в данном случае приводит к более сложным вычислений. Пойдем другим путем, рассмотрев
элементарный объем тела,
образованного вращением вокруг оси выделенной
полоски. В результате ее вращения
Рис.10.8
образуется тонкостенная цилиндрическая трубка, высота которой, внутренний радиус, внешний — . Ее объем с точностью до бесконечно малых первого порядка. Поэтому

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.