Шпаргалка часть 17

Шпаргалка

Линейная алгебра

1 . ЛОО. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, которая имеет m строк и n столбцов. Числа aij называют элементами матрицы а запись mxn — размерностью матрицы. Если количество строк и столбцов матрицы совпадают, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица, в которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные нулю, называется единичной матрицей. Если все элементы матрицы, находящихся по одну сторону от главной диагонали, равны нулю, то матрица называется треугольной. Каждой квадратной мватрици можно поставить в соответствие определитель, который состоит из тех же элементов. Если такой определитель отличен от нуля, то матрица называется не особо (невырожденной). Если определитель равен нулю, то матрица особая (вырожденная).


Второе Гражданство в ЕС

2 .Действия над матрицами . Суммой матриц одного порядка A = (aij) i B = (bij) называется матрица С = А + В; С = (cij) любой элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В: Cij = aij + bij. Произведением матрицы A = (aij) на некоторое число_ называется такая матрица С, каждый элемент которой Cij получается умножением соответствующих элементов матрицы А на Cij < I> = _ x Aij. Произведением матрицы A = (Aij) размерности mxp на матрицу B = (Bij) размерности pxn называется такая матрица С = А х В размерностью mxn, C = (Cij), каждый элемент которой находится по формуле: < / p>

3. Определителем матрицы A n-го порядка называется алгебраическая сумма всех возможных произведений n элементов матрицы, взятых по одному из каждого ее строки и каждого столбца.Определителем второго порядка называется выражение вида:

определителем третьих порядка называется выражение:

4. Властивисть1. Определитель не меняется при транспонировании. Отсюда следует, что любое утверждение, которое справедливо для строк определителя, будет справедливым и для его столбиков и наоборот. В2. Если один из строк определителя состоит из нулей, то такой определитель равен нулю. В3. Если поменять местами любые две строки определителя, то его знак изменится на противоположный. В4. Определитель, имеющий два одинаковых строки, равен нулю. В5. Если элементы любой строки определителя умножить на постоянное число С, то и определитель умножится на С. В6. Определитель, имеющий два пропорциональны строки, равен нулю. В7. Если все элементы любой строки определителя можно представить в виде суммы двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей, в которых элементами цого строки будут соответственно первое слагаемое в первом определителе и второе слагаемое во втором определителе, а все остальные элементы будут те же, что и в начальном определителе. В8. Определитель не меняется, если к элементам любой строки добавить соответствующие элементы любой другой строки, предварительно умноженные на некоторое число. В9. Сумма произведений элементов строки или столбца определителя n-го порядка на алгебраические дополнения к элементам другой строки или столбца этого же определителя равна нулю.

5. ЛОО. Вычеркнем в определителе n-го порядка k-ю строчку и s-й столбец, а из оставшихся элементов создадим определитель (n-1) -го порядка с сохранением размещения строк и столбцов. Приобретенный определитель называется Минором определителя и обозначается Мks. Определитель, образованный в результате вычеркивания нескольких строк и столбцов данного определителя, также называется его минором. Вычеркнем в матрице А размера nxm несколько строк и столбцов так, чтобы из оставшихся элементов можно было составить определитель. Этот определитель называется минором матрицы. Алгебраическим дополнением элемента Aij называют минор Mij, взятый со знаком +, если сумма номера столбца и номера строки, на пересечении которых находится элемент Aij, и со знаком — если эта сумма нечетная. Сказывается Aij = (- 1) i + j Mij. ЛОО. Определителем n го порядка называется число, равное алгебраической сумме произведений элементов любой строки или столбца на видпровидни им алгебраические дополнения .

6. Правило Крамера . Если главный определитель системы _ отличный от нуля, то такая система уравнений имеет единственное развязку связь, который находится по формулам:

где — Главный определитель системы, а j — определитель, получаемый путем замены j-го столбца в главном определителе на столбец свободных членов.

7 . ЛОО. матрица А-1 называется обратной матрицей для квадратной невырожденной матрицы А, если выполняется соотношение: А х А-1 = А-1 х А = Е. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу А-1, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была не особо, то есть чтобы ее определитель НЕ равен нулю.

8 . Предположим, что матрица А — невырожденная и имеет обратную матрицу. Тогда, умножая матричную равенство АХ = В слева на обратную матрицу, получим Эх = Х

Последнее выражение является формулой развязку связи системы линейных уравнений. Разреш Связывание систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы очень эффективно в случае, когда левая часть остается неизменной, а столбец свободных членов меняется. В таком случае вместо того, чтобы полностью развязку связывать каждую систему по методу обратной матрицы, достаточно один раз вычислить А-1, а затем по формуле Х = А-1В находить значения неизвестных при каждом измененном столбце свободных членов, выполняя умножения матрицы А-1 на столбец В.

< p> 9 .Совокупность упорядоченных систем с n-действительных чисел, для которых указанные действия сложения и умножения на число, образует n -вимирний векторное пространство. Элементами указанного таким образом пространства будут упорядочены системы чисел, называть n-мерными векторами.

_______________________

числа ___________________ называются компонентами вектора__. Если рассмотреть еще один

элемент пространства _ _________________, то в пространстве _ можно выполнять такие действия

Добавление двух векторов по

правилу ________________________

< p> Умножение вектора на число_ по правилу __________.

Два вектора ______ считаются равными, если

выполняются равенства _____________________. С определений действий сложения и умножения вектора на число следуют свойства:

ЛОО. Вектор__ называется линейной комбинацией

векторов ____________, если существуют такие

числа _________________, что ___________________.

10 .Система векторов ______________ называется линейно зависимой , если существуют такие числа __________ хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство ____________________________ Если это равенство возможно только в случае, когда все _____________________, то система векторов _________________ называется линейно независимой. Количество векторов, входящих в любую масимальную, линейно независимую подсистему данной системы векторов, называется рангом этой системы.Ранг системы векторов имеет соответствующий н Связь с рангом матрицы. Если, например, из компонентов векторов системы _______________ создать матрицу, то ее ранг равен рангу системы векторов и будет указывать на максимальное количество линейно независимых векторов-строк (столбцов) этой матрицы.

11 . ЛОО. Основой векторного простору_ называется любая максимальная (полная) линейно независимая система векторов этого пространства. Так систему

векторов _____________ _________________

_____________ можно рассмотреть как базис простору__. ЛОО. Матрицу, столбики которой есть координаты векторов нового базиса ____________

в старом базисе _____________, будем называть матрицей перехода от базису__ к базису__.Матрица перехода от одного базиса к другому всегда невырожденной. Если есть два базиса, то матрицы перехода от одного к другому взаимно обратные.

12 . Рангом матрицы А размерностью _______ называется высокий порядок отличного от нуля минора образованного из элементов матрицы. Максимально возможный ранг матрицы может равняться минимальной число _____. Теорема Кронекера-Капелли: Для того чтобы система уравнений

была совместной (малая развязку связь), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А равен ранга расширенной матрицы.

13 . ЛОО . Линейное алгебраическое уравнение называют однородным , если свободный член его доринюе нулю. Пусть задано систему линейных однородных уравнений

Эта система является частным случаем систем линейных уравнений

Поэтому для них справедлива теорема Кронекера-Капелли. Матрица В отличается от матрицы А столбцом свободных членов-нулей, не меняет ранга матрицы. Итак, r (A) = r (B), то есть системы линейных однородных уравнений всегда совместимы. Все однородные системы линейных уравнений имеют развязку Связь _______________, который называют нулевым или тривиальным. Пусть ранг матрицы системы равен . Випадок1. Если _____, то система имеет единственное развязку Связь, который является нулевым. Випадок2. Если ______, то система имеет бесконечное множество ненулевых развязку связей, которые определяются так же, как и для любой системы ______.

14 . Метод Гаусса развязку Связывание системы линейных алгебраических уравнений заключается в последовательном исключении переменных и преобразовании системы уравнений

к треугольного вида.

15 . Метод Жордана-Гаусса является модификацией метода Гаусса и часто применяется в экономических расчетах. Сущность метода заключается в том, что каждое неизвестное исключается не только из размещенных ниже, а из всех уравнений. В таком случае возрастает объем вычислений. Если система__ уравнений с __ неизвестными

имеет единственный развязку связь, то она превращается в

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.