Шпаргалка часть 14

Шпаргалка

Определение матрець, типы матрець.

Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, которая имеет m строк и n столбцов. Их обозначают большими буквами A, B, C и т.д.

Типы матрець

  1. Квадратная матрица, в которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные нулю называется единичной матрецею.

  2. Если все элементы матрицы, находящихся по одну сторону от главной диагонали, равны нулю, то матрица называется треугольной.

  3. Если визначник отличный от нуля, то матрица называется не особо или невырожденной.

  4. Если определитель равен нулю, то матрица особлива или вырожденная.

Действия над матрицами.

Суммой матрець одного порядка и называется матрица C = A + B; любой элемент, равный сумме соответствующих элементов матриц A и B:.

Произведение матрицы на некоторое число a называется такая матрица С , каждый элемент которой получается умножением соответствующих элементов матрицы A на a

Сумы матрець и произведения матрець выполняются равенства:

  1. A + B = B + A; 2. a A = A a 3. a (A + B) = a A + a B 4. ( a + b ) A = a A + b A 5. a (b A ) = (ab) A

Определители первого , второго и третьего порядка.

Определителем второго порядка называется выражение вида:

Определителем третьего порядка называется выражение вида:

В ластивоти определителя.

Свойство 1: Определитель не меняется при транспортировке.

Свойство 2: Если один из строк определителя состоит из нулей, то такой определитель равен нулю.

Свойство 3: Если поменять местами любые две строки определителя, то йго знак меняется на противоположный.

Свойство 4: Определитель, имеющий два одинаковых строки, равен нулю.

Свойство 5: Если элементы любой строки определителя умножить на постоянное число С, то и определитель умножится на С.

Свойство 6: Определитель, имеющий два пропорциональны строки, равен нулю.


сервис обмена электронных валют

Свойство 7: Если все элементы любой строки определителя можно представить в виде суммы двух слагаемых, то определитель бкде равняться сумме двух определителей, в которых элементами этой строки будут соответственно первое слагаемое в первом определителе и второе слагаемое во втором определителе.

Свойство 8 Определитель не меняется, если к элементам любой строки добавить соответствующие элементы любой другой строки, предварительно умноженные не некое число.

Миноры и алгебраические дополнения. Определитель n ого порядка.

Минором k -того порядка k является [1 ; n -1] называется определитель образованный из элементов, которые стоят на пересечении любых k строк и k товпчикив определителя.

Алгебраическим дополнением к минора k -того порядка является дополняющий минор ( n  — k ) -того порядка, взятый из знаком, где

Если — сумма номеров и столбцов — парная, то знак «+», если не парная, то знак «-».

Определение Определителем n -ого порядка называется число, равное алгебраической сумме произведений элементов любой строки, или колонки на соответствующие им алгебраические дополнения.

Правило Крамера.

Если главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, системы n линейная уравнений с n -невидомимы отличный от нуля, то такая система уравнений имеет единственное решение (совместная и определена), который находится по формулам:

,,.,.

где головная определитель, который состоит из коэффициентов при неизвестных в левой части системы.

-визначник, получаемый путем замены j го столбика в главном определитель на столбик свободных членов.

обращения матриц.

Матрица называется обращение матрицей для квадратной, невиродженнои А , если выполняется соотношение:.

Оберенни матрицы существуют для квадратных не особо матриц.

Разгрузка ' Связывание систем уравнений с помощью обращения матрицы.

Находят обратную матрицу следующим образом:

1

2. Алгебрарични дополнения, ко всем элементам матрицы А .

3. С алгебраричнихдоповнень сскладають матрицу в которую записывают алгебраические дополнения не в обычном порядке, а в транспонированную —

4.

N  — мерный векторное пространство.

Совокупность упорядоченных систем с n -действительно чисел, для которых указанные действия сложения и умножения на число, образует n -вимирний векторное пространство .

Элементами определении таким образом пространства будут упорядочены системы чисел, называем n -вимирнимы векторомы.

Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг совокупности векторов.

Система векторов называется линейной зависимой, если существуют такие числа

хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство:

( 1)

Если равенство (1) возможно только в случае, когда все то система векторов называется линейно независимой.

Количество векторов, входящих в любую максимальную, линейную независимую подсистему данной системы векторов, називаюеться рангом этой системы.

Базис. Переход от одного базиса к другому.

Основой векторного пространства называется любая максимальная (полная) линейно независимая система векторов этого пространства.

Матрицу, столбики которой есть координаты нового базиса в старом базисе, будем называть матрецею перехода от базиса e к базису < I> .

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

Рангом матрицы A размерность mXn называется высокий порядок отличного от нуля минора образования из элементов матрицы. Обозначают ранг — r или r ( A < / B> )

Теорема: система линейных алгебраричних уравнений совместима тогда, и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу Разрешение матрицы .

однородной системы уравнений.

Система однородных лнийних уравнений имеет нетральни развязки тогда, и только тогда, когда

Метод Гаусса.

Метод Жорданна-Гаусса.

Решение уравнений методом Г-Ж осуществляется с помощью расчетной таблицы в которую записывают Коэффицент при неизвестных, столбики свободных членов и контрольный столбик.

В контрольный столбик первого столбца записывают сумму элементов по строкам. Элементы контрольного столбика второго и последующих таблиц продолжают по правилу прямоугольника. Контроль осуществляют так: если скма элементов строки, кроме последнего равна последние элемента, то вычисления сделано верно.

Решение продолжается пока мы не получим столько одиночных векторов, сколько осталось уравнений.

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Линейное преобразования в различных базисах имеет различные матрицы, но все они имеют одинаковые собственные числа. Поэтому можно утверждать, что линейное преобразование характеризуется набором собственных чисел, которые в дальнейшем будем называть спектром линейного преобразования, или спекторм матрицы A .

Рассмотрим линейное преобразование в пространстве такое, что переводит отличный от нуля вектор, то есть:

Такой вектор называть собственным вектором преобразования, а и — собственным числом, соответствующий этому собственному вектору.

Квадратичные формы. Определение. Условия определенности.

1.Квадратичной формой f от n-неизвестных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из неизвестных или произведением двух различных неизвестных, умноженных на некоторый коэффициент.

2.Квадратичная форма f от n-неизвестных с действительными коэффициентами называется положительно определенной, если при любых действительных значениях этих неизвестных, хотя бы одно из них отлично от нуля, эта форма приобретает Только положительных значений.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.