Системы уравнений рождения и гибели

реферат
На тему:
Системы уравнений рождения и гибели
Одним из важнейших направлений применения процессов Маркова является моделирование процесса рождения и гибели, что может происходить как с дискретными, так и с непрерывными изменениями времени t. При этом главным условием, которая непременно должна выполняться, такова: переходы процесса возможны только в соседние состояний.
Марковский процесс в этом случае описывает изменения, которые происходят во времени в определенном объеме популяции, а именно — изменения количества единиц определенного вида организмов.
При этом предполагается, что процесс рождения определенного количества единиц организмов моделируется пуассоновским процессом (потоком) с параметром, является интенсивностью рождения k-го организма, а гибель — экспоненциальному закону распределения с параметром где — интенсивность гибели k-го организма. Такие предположения хорошо согласуются с реальными процессами рождения и гибели, которые происходят в определенном ограниченном пространстве популяции, а также дают возможность применять математический аппарат, строя такие вероятностные модели, которые можно использовать для решения широкого круга задач, стоящих в системах обслуживания.
Для процесса рождения и гибели, как уже отмечалось, возможны только переходы из состояния в состояние или.
Пусть объем популяции равен k единицам, а следовательно, процесс находится в состоянии.
Переход процесса из состояния в состояние соответствует случайному событию — рождение с определенной вероятностью одной единицы организма, а переход процесса из состояния в состояние отвечать такой случайной события: гибель с некоторой вероятностью одной единицы организма.
Три возможные переходы процесса размножения и гибели, где отсутствуют переходы процесса к не соседних состояний, наглядно рис. 27.
Рис. 27
Для построения вероятностной модели этого процесса остановимся подробнее на его переходах в соседние состояний и соответствующих вероятностях преходим.
Пусть в момент времени t было k одиницьпопуляции, то есть процесс размножения и гибели находился в состоянии.

обмен электронных валют
Тогда в момент времени где — достаточно малая величина, процесс будет находиться в состоянии если произойдет одно из несовместимых случайных событий с соответствующими вероятностями, а именно:
а) если в момент времени t объем популяции равен единицам, то согласно с (143) в течение времени одна единица непременно должен погибнуть с вероятностью
; (168)
б) если в момент времени t объем популяции равен k — 1 единиц, то согласно (143) в течение времени одна единица непременно родится с вероятностью
; (169)
в) если в момент времени t объем популяции равен k единиц и в течение времени это количество не изменится, то есть согласно (139) ни единица не погибла и не родилась с вероятностью
(170) < br /> Приведенные переходы и соответствующие им вероятности изображен на рис. 28 для
Рис. 28
Для переходы процесса и соответствующие им вероятности изображен на рис. 29.
Рис. 29
На основе приведенных только соображений получим такую ​​систему уравнений:
(171)
При этом
(172)
Воспользовавшись (168) — (170), представим систему (171) в виде
(173)
Раскрыв скобки в системе (173), получим:
или
(174)
От системы (174) переходим к системе
(175)
Поделив левую и правую чистина системы на, получим:
Переходя к границе с получаем:
поскольку
или
(176)
Итак, получили систему дифференциально-разностных уравнений, описывающей динамику вероятностного процесса рождения и гибели.
Сосредоточив внимание, например, на состоянии увидим, что перейти к этому состоянию можно только из состояний или и наоборот, оставляя состояние можно попасть только в состоянии или.
Такие процессы называют процессами размножения и гибели.
Если в системе (176) возьмем для всех значений k, то получим процесс чистого размножения:
(177)

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.