Степенные ряды Теорема Абеля Область сходимости степенного ряда

Реферат на тему:
Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда.
?
План:
1. Степенные ряды.
2. Теорема Абеля.
3. Радиус сходимости.
4. Область сходимости степенного ряда.
1. Степенной ряд.
Степенной рядом, называется функциональный ряд вида
а + а х + a X2 +. + А x +. = А х (28)
a, a ... a — действительные числа, которые называются коэффициентами ряда.
степенной рядом по степеням двучлена х — хо, где x — действительное число, называют функциональный ряд вида:
а a (xx) +. + а (х-х) + ... = (29)
Ряд (29) заменой переменной х- х = t сводится к ряду вида (28), поэтому в дальнейшем будем рассматривать только степенные ряды вида (28).
Всякий степенной ряд вида (28) сходится в точке х = 0 к сумме S = а. Поэтому область сходимости степенного ряда всегда содержит по крайней мере одну точку.
А + а х + а x +. ax +. абсолютно и равномерно сходящийся на любом отрезке /-р; р], который вполне содержится в интервале сходимости (- R, R).
По условию р
обменник электронных валют
По теореме Абеля:
ряд сходится. Для произвольной точки х является 1- г, р] выполняется неравенство
, поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (28) абсолютно и равномерно сходящийся.
С этого свойства и свойств 1 ° -3 ° функциональных рядов (п. 2.1) вытекают следующие утверждения:
1 °. Сумма степенного ряда (28) непрерывна внутри его интервала сходимости.
2 °. Если пределы интегрирования а и Ь лежат внутри интервала сходимости (-R, R) -ряда (24), .то на отрезке | а; Ь | этот ряд можно по-членного интегрировать.
частности, если ряд (28) интегрировать по отрезку [0; х], где / х / S (x) =
3 °. Если ряд (28) имеет интервал сходимости (- R, R), то ряд, образованный дифференцированием ряда (28), имеет тот же интервал сходимости (- R, R) при этом, если S (х) — сумма ряда (28), то:
S (x) = есть (-R, R).
Таким образом, ряд (28) на отрезке [0; х], х Сформулированные свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и приближенных вычислениях.
Пример:
Найти сумму данного ряда:
Обозначим сумму данного ряда через S (х), тогда:
S (x) =
Эту сумму можно рассматривать как геометрическую прогрессию с первым членом a = 1 и знаменателем q = -x2. Найдя сумму прогрессии, получим:
S (x) =
Интегрируя это равенство на отрезке, имеем:
Откуда:
x-
2. Теорема Абеля.
Если степенной ряд (28) сходится при х = х, то он абсолютно сходится для всех значений х, удовлетворяющих неравенство х оо. Отсюда следует, что: п = 0, последовательность (а x) ограничена, то есть существует такое число М, что:
п = 0,1,2 ,.
есть модуль каждого члена ряда (28) не превышает соответствующего члене сходящейся геометрической прогрессии. Тогда по признаку сравнения при ряд (28) абсолютно сходится. Пусть теперь ряд расходящийся, при х = х Тогда ряд (28) будет расходящимся и для всех х, удовлетворяющих неравенство / х /> / х /. Действительно, если бы предположить, что он сходится в какой-либо точке х, что
удовлетворяет это неравенство, то по доказанным он был бы сходящимся и в точке А / так и хи и <И х. А это противоречит тому, что в точке хи ряд расходящийся.
Теорема Абеля характеризует множества точек сходимости и разногласия степенного ряда. Действительно, если Хо точка сходимости ряда (28), то весь интервал (-) заполнено точками абсолютной сходимости этого ряда. Если x — точка расхождения ряда (28), то вся бесконечная полупрямая (- оо, — хи)) слева от точки — | х, и вся бесконечная полупрямая (| х |; + оо) справа от точки | х, 1 состоит из точек расхождения этого ряда. Итак, для области сходимости степенного ряда возможны три случая: 1) ряд (28) сходится только в точке х = 0; 2) ряд (28) сходится при всех х есть (_ -оо; + 00); 3) существует такое конечное число R является (0; + 00), что при 1 х И R — расходящийся.
Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (- R, R) — интервалом сходимости.
Укажем способ определения радиуса сходимости степенного ряда. Составим ряд из модулей членов ряда (28) п = 0.
Предположим, что существует граница
lim x
Согласно признаку Д'Аламбера, ряд (28) абсолютно сходится при LI х I <1, или 1 х I 1, или | х>.
Итак, интервал (;) является интервалом абсолютной сходимости ряда (28), а число
R =
его радиусом сходимости. Аналогично воспользовавшись признаком Коши, можно установить, что: R = [im
Замечание 1. Нетрудно убедиться, что когда L = lim или L = lim, то ряд (28) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае считают R = +00. Если же L = о, то R = 0, и степенной ряд имеет только одну точку сходимости х = 0
Замечание 2. Вопрос о сходимости ряда при х = ± R (на концах интервала сходимости) решается для каждого ряда отдельно. Таким образом, область сходимости степенного ряда может отличаться от интервала
(-R, R) не более чем двумя точками х = ± R.
Замечания 3. Радиус сходимости ряда (29) определяется по тем же формулам (С) и (31), что и ряда (28).
Интервал сходимости ряда (29) находят из неравенства / х хо / Зауваження4. На практике интервал сходимости степенного ряда часто находят по признаку Д'Аламбера или признаком Коши, применяя их в ряд, составленный из модулей членов заданного ряда.
3. Промежуток сходимости степенного ряда. Степенным рядом называется функциональный ряд вида а0 + а1 (х - х0) + а2 (х - х0) 2+. + А n (х - х0) n +. Или, что то же, где а n, n = 1, 2,., - Стали действительные числа, которые называются коэффициентами степенного ряда, а х0 -произвольный фиксированное действительное число.
Теорема 1. (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится в точке 0, то он полностью соответствует в любой точке х, для которой | х | <| |.
С сходимости ряда
следует, что его общий член стремится к 0 при n, а следовательно, последовательность (а n n) ограничена, то есть существует такое М R,
(1) < br /> Возьмем теперь любое х, для которого | х | | |, И создадим ряд
(2)
Поскольку
n = 1, 2,. ,
и члены ряда (2) не превышают соответствующих членов сходящейся геометрической прогрессии (со знаменателем | | 1:
по первому сравнительной признаком сходимости положительных рядов, ряд сходится. В таком случае, как известно, ряд абсолютно сходится, что и требовалось доказать.
В точке х = 0 совпадает, очевидно, любой ряд). Однако есть степенные ряды, которые, кроме того, не совпадают в одной точке х. Примером такого везде расходящегося ряда может служить ряд
1!х + 2!х2 +. + N!хn +.,
поскольку в этом легко убедиться с помощью признака Д'Аламбера (проделайте это сами). Подобные ряды не представляют интереса.
Предположим, что для ряда (1) среди точек, в которых он совпадает, есть и отличные от 0. Рассмотрим множество {| |}; она или ограничена сверху, или ограничено.
В последнем случае, какую бы точку их не взять, найдется такая точка х, что | х | <| |, А тогда по теореме Абеля ряд абсолютно совпадает во взятой точке х. Ряд оказывается везде сходится, то есть сходится на R.
Пусть теперь множество {| х |} ограничена сверху. Это множество имеет верхнюю грань: R = sup {| x |}. Понятно, что 0 Существует такая точка х, что | х | R (если R <+). При этом число R и интервал (-R, R) называются соответственно радиусом и интервалом сходимости степенного ряда.
Тем самым решен вопрос об области сходимости X ряда: она сплошным промежутком от -R до R; только о конце его (если R <+) нельзя сделать общего вывода: как мы увидим ниже, в этих точках ряд может как совпадать (абсолютно или условно), так и разбегаться. Промежуток X называется промежутком сходимости ряда.
Для везде расходящегося ряда считают R = 0; его промежуток сходимости сводится к точке х = 0
Примеры
1. Найти промежуток сходимости ряда
Сначала найдем интервал сходимости этого ряда. Поскольку степенной ряд в интервале сходимости совпадает абсолютно, для нахождения этого интервала воспользуемся достаточным признаком Коши абсолютной сходимости числового ряда.
Есть
Итак, ряд совпадает, если 1. Радиус сходимости исследуемого ряда R = 10, а его интервалом сходимости является интервал (10; 10).
Выясним теперь поведение ряда на концах промежутка (10; 10). Подставив в заданный ряд вместо х число 10, получим гармонический ряд
а он расходится. Итак, в точке х = 10 дан ряд расходится.
При х = -10 иметь числовой знакоперемижний ряд
который условно сходится (по теореме Лейбница).
Таким образом, промежутком сходимости заданного ряда являются [ 10; 10).
2. Найти промежуток сходимости ряда
Воспользуемся признаком Д'Аламбера. Есть
для любого х R. Поскольку 0 <1, исследуемый ряд сходится в любой точке x R.
Итак, промежутком сходимости заданного ряда является интервал (-; +).
3. Найти промежуток сходимости ряда
.
Этот пример читатель решит самостоятельно; мы ограничимся ответом: здесь радиус сходимости R = 1; промежутком сходимости является отрезок [-1; 1], ряд сходится абсолютно также при х = ± 1.
Все изложенное касается также степенного ряда вида только роль точки 0 играет точка х0: промежуток сходимости имеет конце х0 — R и х0 + R (с включением концов или нет в зависимости от случая).
Литература:
Барковский В.В. Барковская Н.В. «Математика для экономистов». Высшая математика. — М .: Национальная академия управления, 1997г. — 397 ст.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.