Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Понятие об устойчивости решений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Киевский национальный торгово-экономический университет
КОЛОМЫЙСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРАВОВОЙ КОЛЛЕДЖ
Реферат
по дисциплине "Математика для экономистов
" на тему:
" Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Понятие об устойчивости решений
" Выполнила: студентка группы
Б-13 Лавринович Ирина
Проверил преподаватель: Луговая Л.Б.
Коломыя-2002
План
1. Понятие об устойчивости решений.
Контрольные вопросы:
1. Какие функции описывают невозмущенное решение?
2. Какой решение системы называется устойчивым по Ляпунову?
3. При каких условиях розвьзок называют неустойчивым?
4. Какой решение называют асимптотически устойчивым?
5. Дано уравнение y + y = t с начальным условием y (0) = 1. Исследовать решение, удовлетворяет это условие, на стойкость.
При создании приборов, конструкций, машин, отвечающих определенным условиям, надо знать, как вести себя объект при небольших перераспределения сил изменении начальных условий. Тот объект, эксплуатационные параметры которого не реагируют на эти изменения, называется устойчивым.
купить кондиционер в днепропетровске
Например, при различных отклонениях маятника от положения равновесия (разных начальных условиях) движение маятника должно быть устойчивым, периодическим. Крыло самолета имеет сохранить исходное положение даже при малейшем изменении начальных условий.
Физически задача об устойчивости может быть поставлена ​​так: рассматривается некоторое движение, соответствующее заданным начальным условиям. Изменим начальные условия на малую величину. Если дальше характер движения остается прежним или изменится мало, то такое движение называется устойчивым по Ляпунову. В этом толковании устойчивости оставалось неопределенным понятие «малая величина».
Подойдем к вопросу более строго. Движение каждого объекта описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме:
Если объект имеет один степень свободы, то его движение описывается системой:
нелинейной
;
линейной
В системе (1.1) неизвестными являются функции времени в системах (1.2) и (1.3) — и пусть функции определены в n-мерном шаре радиуса R: для и удовлетворяют там некоторые условия, гарантирующие существование непрерывно дифференцированных функций
которые являются решением системы (1.1). Дополним систему (1.1) начальными условиями. При существует набор чисел взятых из n-мерной шара позволяющий только единственным образом достать Функции
при этом переходят в единую систему частных решений системы (1.1):
........................... ......
дальнейшем надо будет менять начальные условия и соответственно частные решения. При этом считаем, что эти изменения не выводят функции и начальные условия из области определения правой части уравнения (1.1). Дадим определение устойчивости решения системы (1.1). Пусть известен частное решение системы (1.1). что соответствует начальным условиям при Изменим начальные условия при частное решение, соответствует этим новым условиям, обозначим Функции описывают так называемый невозмущенное решение, а обуреваемый решение.
Решение системы (1.1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого заданного сколь угодно малого положительного числа можно указать такое малое положительное число при
(1.4)
для всех и оправдывается неравенство
(1.5)
Если при выполнении всех условий (1.4) хотя для одного i = k не выполняется условие (1.5), то есть то решение называется неустойчивым. Если при выполнении условий (1.4), (1,5) выполнены и условия
(1.6)
для всех то решение называется асимптотически устойчивым. Если среди равенств (1.6) хотя бы одна, например для i = k, не выполнено, но выполнены все условия (1.5), то решение называется неасимптотично устойчивым. Если речь о устойчивость нулевого решения (точки покоя).Если для любого сколь угодно малого положительного числа> 0 можно указать такое малое положительное число зависящее от что при
(1.7)
для всех и выполняются неравенства
(1.8)
то нулевое решение называется устойчивым по Ляпунову. Если при выполнении (1.7) для всех хотя бы одно из условий (1.8) не выполняется, то нулевое решение называется неустойчивым.
Если при выполнении условий (1.7) и (1.8) выполняются еще и условия
(1.9)
для всех то нулевое решение называется асимптотически устойчивым.
Если говорить об устойчивости при изменении силового воздействия, то изменение сил отражается на изменении коэффициентов дифференциальных уравнений, описывающих движение. Те системы, решение которых не меняется при незначительном изменении коэффициентов, называются грубыми. Грубые системы устойчивы.
Литература:
1. Овчинников П.Ф., Лисицын Б. М., Михайленко В. М. Высшая математика. — М .: Высшая шк., 1989. — 117-118 с.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.