Числовые последовательности Граница, основные свойства границ Бесконечно малые и бесконечно большие величи

бесконечно мала.
Теорема 1. Для того чтобы последовательность имела границу, которая равнялась необходимо и достаточно, чтобы существовала такая бесконечно малая последовательность что
(5.7)
Замечания. Рассмотрим арифметические операции над числовыми последовательностями: сложение, вычитание, умножение и деление.
Пусть имеем две последовательности:
(5.8)
и
(5.9)
Тогда сложение, вычитание и умножение последовательностей (5.8), (5.9) выполняются добавлением, вычитанием или умножением соответствующих членов этих последовательностей.
Если все то частное от деления последовательности (5.8) последовательность (5.9) определяется как последовательность члены которой
Символично эти действия познаються так:
Теорема 2. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.
Следствие 1. Алгебраическая сумма конечного множества бесконечно малых бесконечно мала.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой числовой последовательности последовательность ограниченную есть бесконечно малая числовая последовательность.
Следствие 2. Произведение постоянной величины на бесконечно малую числовую последовательность есть бесконечно малая числовая последовательность.

demo binary options
Следствие 3. Произведение конечного числа бесконечно малых числовых последовательностей есть бесконечно малая числовая последовательность.
5. Основные теоремы о границах
Приведем теоремы, которыми пользуются для нахождения границы числовых последовательностей.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух сходящихся последовательностей и есть совпадающая последовательность, ее граница равна соответствующей сумме границ данных последовательностей.
Д в в е д е н и е. Пусть Тогда
где и — бесконечно малые последовательности.
Добавив почленно эти равенства, получим:
Итак, выражение мы подали в виде суммы постоянного числа
и бесконечно малой Поэтому существует и
Замечания. Теорема справедлива и для случая всякого конечного числа сходящихся числовых последовательностей.
Теорема 2. Произведение двух сходящихся последовательностей и есть совпадающая последовательность, ее граница равна произведению границ данных последовательностей.
Д в в е д е н и е. По условию теоремы
Поэтому где — бесконечно малые последовательности.
Тогда
С свойств бесконечно малых выводим, что последовательность
 — бесконечно малая.
Отсюда
есть
Теорема доказана.
Замечания. Теорема справедлива и в случае произведения всякого конечного числа сходящихся последовательностей.
Следствие 1. Если последовательность имеет конечную границу, то при всяком постоянном имеем:
или устойчивое множитель можно выносить за знак предела.
Следствие 2. Если и — натуральное число,
то
Теорема 3. Если последовательности и совпадают, причем и то
последовательность совпадают и ее граница равна отношению
границ последовательностей и
Д в в е д е н и е. По условию теоремы
где — бесконечно малые последовательности.
Поскольку то где — постоянное число.
дальнейшем ограничимся теми членами последовательности удовлетворяющих предыдущий неравенства. Тогда
.
Последовательность является ограниченная, поскольку
Последовательность бесконечно мала. Таким образом, есть бесконечно малая.
Поэтому
Теорема доказана.
При изучении основных теорем о границах мы считали, что числовые последовательности и имеют конечные границы, причем при доказательстве теоремы о границе доли считали, что граница делителя не равна нулю.
Рассмотрим случай, когда и бесконечно большие числовые последовательности, то есть
Легко видеть, что арифметическая сумма и произведение этих последовательностей также бесконечно большая числовая последовательность. Однако ничего конкретного в общем случае нельзя сказать о доле от деления и разницу этих последовательностей. Частное от деления таких последовательностей в зависимости от закона изменения и может
вести себя по-разному. Каждый раз отношение нужно исследовать. Поэтому говорят, что отношение если есть неопределенность. И эту неопределенность символически обозначают так:
Примеры.
1. Найти
Р а з в 'я из о к. Раскрыть неопределенность В этом случае поступают так: числитель и знаменатель делят на (от этого дробь не меняется), а затем применяют теоремы о границах доли и суммы. Приведем полную запись вычисления предела:
2. Найти
Р а з в 'я из о к.
3. Найти
Р а з в 'я из о к.
Сказанное о доле касается и разности двух бесконечно больших числовых последовательностей. Если то разницу называют неопределенностью вида
Пример. Найти
Р а з в 'я из о к. Здесь есть неопределенность вида Для ее раскрытия избавляемся иррациональности в числителе.
Иметь
С аналогичным фактом мы встречаемся в случае отношение двух бесконечно малых числовых последовательностей. Если это частное от деления может также вести себя по — разному. Эту неопределенность называют неопределенностью вида эту, а также и другие неопределенности рассмотрим в следующих параграфах.
6. Граница монотонной числовой последовательности
Основные теоремы о границах позволяют устанавливать и находить числовое значение предела заданной числовой последовательности с помощью границ других числовых последовательностей, определенным образом связанных с рассматриваемой. Однако в некоторых случаях как теоретического, так и практического характера не всегда можно использовать эти теоремы. Поэтому приходится применять другие способы, в частности признаки сходимости числовых последовательностей.
Теорема 1. Если последовательность
(5.10)
является монотонно возрастающая (убывающая) и ограничена сверху (снизу), то она совпадающая.
5. Сравнение бесконечно малых величин
Иногда приходится рассматривать не одну, а несколько бесконечно малых функций в данной точке. Такие функции сравнивают между собой с помощью границы их отношения. Найти границу такого отношения по известным теоремами о бесконечно малых и о границах нельзя. Это не случайно. Видношеннядвох бесконечно малых, в зависимости от характера изменения сравниваемых между собой бесконечно малых, может вести себя по-разному: оно может быть либо величиной, стремится к конечной, отличной от нуля границы, или величиной бесконечно малой, или бесконечно большой, или величиной, имеет границы.
Каждое из этих четырех случаев имеет свое название. Пусть и бесконечно малые функции в точке.
Означення.1. Если
,
то и в точке называются бесконечно малыми одинакового порядка малости.
Примеры.
1. Пусть. При и
и стремятся к нулю. Найдем
Таким образом, функции и бесконечно малые одинакового порядка малости в точке.
2. Пусть
и.
Найдем
.
Таким образом, функции и на бесконечности одинакового порядка малости.
3. Пусть,
и.
Найдем
.
Итак, функции и при бесконечно малые одинакового порядка малости.
Определение 2. Если
,
то называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем. При этом — бесконечно малая низшего порядка малости, чем.
Примеры.
1. Пусть. Тогда и в
точке бесконечно малые функции. Найдем
Итак, в этом случае есть бесконечно малая высшего порядка, чем.
2., и — бесконечно малые при. Найдем
Следовательно, при бесконечно малая высшего порядка, чем.
Определение 3. Если
,
то называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем.
Пример.
Пусть,. При и — бесконечно малые. Найдем
Следовательно, при бесконечно малой низшего
порядка малости, чем.
Определение 4. Если границы отношения и не существует (ни окончена, ни бесконечная), то и называются не Сравнительный бесконечно малыми.
Определение 5. Если
,
то и в точке называются эквивалентными, и записываются ~.
Примеры.
1. Пусть,. Тогда и в точке бесконечно малы. Поскольку (доведение будет дано в следующей теме), то и есть эквивалентные величины, то есть ~.
2. Доказать, что в точке:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
с)

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.