Функциональный ряд, область его сходимости Cтепень ряды Теорема Абеля (поисковая работа)

Поисковая работа на тему:
Функциональный ряд, область его сходимости. Cтепень ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Степенные ряды по степеням (xa)
План
"Функциональный ряд.
" Область сходимости
"Равномерная сходимость
" степенные ряды
"Теорема Абеля
"Интервал и радиус сходимости степенного ряда
" Ряды по степеням
1. Функциональные ряды
1.1. Функциональные ряды. Область сходимости
Ряд
(13.22)
называется функциональным, если его члены являются функциями от Предоставляя определенного числового значения, мы получим различные числовые ряды. Одни из них могут быть сходящимися, другие — расходящимися.
Определение. Совокупность тех значений при которых ряд (13.22) совпадает, называется областью сходимости функционального ряда.
Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от.

регистрация компании в Ирландии
Поэтому его сумму будем обозначать через
Через обозначим частную сумму ряда (13.22), то есть сумму первых его членов
(13.23)
Тогда
, (13.24)
где < br /> и называется остатком ряда. Для всех значений в области сходимости ряда имеет место соотношение а потому
(13.25)
есть остаток сходящегося ряда стремится к нулю при
Пример. Найти область сходимости ряда.
Р а з в 'я из о к. Для нахождения области сходимости данного функционального ряда используем радикальную признак Коши
. Ряд совпадает при тех
значениях при которых эта граница меньше единицы, то есть
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка, то есть при и.
При: ряд расходится.
При: ряд расходится.
Областью сходимости данного ряда является промежуток
1.2. Равномерная сходимость
Определение. Функциональный ряд (13.22), совпадающий для всех с области, называется равномерно сходящимся в этой области, если для произвольного сколь угодно малого числа существует такой независимый от номер что при неравенстве
или (13.26)
выполняется одновременно для всех с
Пример 1. Рассмотрим прогрессию
она совпадает в открытом промежутке Для произвольного с остаток ряда имеет вид:
Если произвольно зафиксировать, то, очевидно:
Это показывает, что осуществить для всех одновременно неравенство
(если )
при одном и том же номере невозможно. Итак, сходимость прогрессии
в промежутке неравномерная; это же относится и к промежутков и в частности.
Приведем без доказательства признак равномерной сходимости ряда (13.22).
Признак равномерной сходимости. Для того, чтобы ряд (13.22) равномерно совпадал в области необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовал такой не зависящий от номер что при и произвольном неравенство
(13.27)
будет иметь место для всех с одновременно.
Для установки на практике равномерной сходимости рядов пользуются более удобными в применении достаточными признаками, например признаку Вейерштрасса.
Признак Вейерштрасса. Если члены функционального ряда (13.22) удовлетворяют в области неровностям
(13.28)
и числовой ряд
(13.29)
совпадает, то ряд (13.22) совпадает в равномерно.
При наличии неравенства (13.28) говорят, что ряд (13.22) мажоруеться рядом (13.29), либо ряд (13.29) служит мажорантним рядом для (13.22).
Пример 2. Рассмотрим ряд
Р а з в 'я из о к. Поскольку неравенства выполняются на всей числовой оси, а числовой ряд сходится, то данный функциональный ряд равномерно совпадает на
1.3. Функциональные свойства суммы ряда
Мы переходим теперь к изучению функциональных свойств суммы ряда, составленного из функций, в связи со свойством последних.
Сумма конечного числа непрерывных на отрезке функций является непрерывная на этом отрезке функция. Для суммы ряда (состоящей из безграничного числа слагаемых) это свойство не сохраняется. Здесь необходимы дополнительные требования на непрерывные слагаемые.
Теорема 1 (о непрерывности суммы ряда). Если функции определены и непрерывны в промежутке и ряд (13.22) равномерно совпадает в сумме, то и эта сумма будет непрерывной в промежутке
Замечания. Равномерная сходимость фигурирует в теореме лишь как достаточное условие и не нужно думать, что это условие является необходимым для непрерывности суммы ряда. Например, ряд
на отрезке имеет непрерывную сумму, тождественно равную нулю, хотя на этом отрезке ряд совпадает неравномерно.
Теорема 2 (о Почленно переход к границе). Пусть каждая из функций определена в области и имеет конечную границу при:
(13.30)
Если ряд (13.22) в области совпадает равномерно, то совпадает и ряд, составленный из этих границ:
(13.31 )
и сумма ряда (13.22) также при границу, а именно:
(13.32)
Равенство (13.32) можно записать в таком виде:
(13.33)
Таким образом, при наличии равномерной сходимости функционального ряда, граница суммы ряда равен сумме ряда, составленного из границ его членов, или, другими словами, допустим предельный переход «почленно».
Теорема 3 (о Почленное интегрирования рядов). Если функции непрерывные на отрезке и составленный из них ряд (13.22) совпадает на этом промежутке равномерно, то интеграл от суммы ряда (13.22) можно представить следующим образом:
(13.34)
Равенство (13.34) можно записать еще так:
(13.35)
Следовательно, в случае равномерной сходимости функционального ряда, интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.