Элементарная теория погрешностей

Реферат на тему:
Элементарная теория погрешностей
Определение. Пусть A точное значение некоторого числа, тогда как a близкий. Тогда разница a = | Aa | называется абсолютной погрешностью числа A.
Определение. Доля a = называется относительной погрешностью числа A.
Пример. Пусть A = 10; a = 9,5; B = 50; b = 50,5.
Тогда a = | 10-9,5 | = 0,5; a = 0,5 / 10 = 0,05 = 5%.
b = | 50-50,5 | = 0,5; b = 0,5 / 50 = 0,01 = 1%.
Отметим, что на практике большинство статистических данных известны лишь с некоторой погрешностью.
Определение. Говорят, что число a имеет n верных знаков (разрядов, цифр), если его абсолютная погрешность не превышает половины n-го разряда.
Пример. Число 10 ± 0,5 и 50 ± 0,5 имеют два верных знаки. Число 123,2 ± 0,05 имеет четыре верные знаки.
В математике (а также в ее приложениях) принято записывать для каждого числа все его верные знаки и только эти верные знаки. Например, по записи x1 = 112,40 определяем, что это число имеет пять верных знаков (= 0,005), тогда как по записи числа x2 = 112,4 определяем тот факт, что это число имеет четыре верные знаки (= 0, 05). В числе y1 = 1200 верными являются четыре знака (= 0,5), а в числе y2 = 0,120 104 имеем всего три (= 5).
Теорема 1. При добавлении (вычитание) приближенных чисел их абсолютные погрешности добавляют:
a + ba + b.

Бушлат Олива
Теорема 2. В случае умножения (деления) приближенных чисел их относительные погрешности добавляют:
ab a + b.
Для добавления многих близких чисел (a1 ~ a2 ~ ... ~ an ~ a) используют формулу
Пример. Пусть a = 12 ± 0,3; b = 10 ± 0,2.
Выполнив добавления, получим a + b = 22 ± 0,5,
откуда a + b = 0,5.
В результате умножения получаем ab = (12 ± 0,3) (10 ± 0,2) 120 ± 5,4,
откуда.
абслютно погрешность y функции от многих переменных y = y (x1, ..., xn), как указано в теме 6, вычисляют по формуле
.
Типичной ошибкой экономиста является наведение на большого количества знаков после запятой (поскольку компьютер выполняет вычисления с многими разрядами). Однако точность результата не может быть выше, чем точность исходных данных!
Отметим, что в случае вычитание относительная погрешность может значительно возрастать.
Пример. Пусть a = 121 ± 0,5
b = 119 ± 0,5
Относительные погрешности аргументов составляют
и.
Находим относительную погрешность результата вычитания приближенных чисел:
Как видим, в результате выполнения только одного действия относительная погрешность выросла более чем в 100 раз.
Так что в случае выполнения значительного количества вычислений всегда есть опасность потери верных знаков. Автоматизация расчетов с помощью компьютера в этом аспекте помочь никак не может. Пользователь сам должен планировать процесс вычислений так, чтобы избегать вычитание близких чисел.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.