Численный метод часть 1

линейно независимы.
Перепишем уравнение (347) так:
,
или, в векторно-матричной форме
, (348)
где
.
Уравнение (348) можем представить как, или
. (349)
С (349) определим матрицу D:
.
Отсюда
. (350)
Пример 2. По заданной матрицей
найти.
Решение. Поскольку характеристическими корнями матрицы А есть числа,, то соответствующие им характеристические векторы будут такие:
,.
Итак, матрицы T и T -1 иметь соответственно следующий вид:
,.
Тогда
.
Найдя диагональную матрицу
,
получим:
.
Заметим, что определять характеристические векторы и строить матрицы Т, Т -1 приходится для отыскания решений системы нелинейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2. Нахождение решений
для систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
за, (351)
где; ; ; ; — Вектор граничных условий.
Пусть
, (352)
где, Т — матрица, столбцами которой являются характеристические векторы матрицы А.
Тогда
Итак,
. (353)
Поскольку, то
. (354)
Принимая во внимание, что, где, получим
,
или
, (355)
где. (356)
Уравнение (353) представим в следующем виде:
,
или
. (357)
Таким образом, система линейных дифференциальных уравнений (351) диагонализации матрицы А свели к виду (357), удобного для дальнейшего решения.
Так, для i-го уравнения системы (357) имеем:
,, (358)
(359)
Поскольку согласно (359), то окончательное решение будет таков:
. (360)
Учитывая (360), получаем общее решение системы (351):
.
Пример 3. Решить системы линейных дифференциальных уравнений
если.
Решение.

обменник электронных валют

Поскольку матрица, то характеристические корни находим из уравнения
.
Итак,,,.
Чтобы определить характеристические векторы матрицы А, воспользуемся поданным дальше уравнением для всех значений характеристических корней,,:
,.
Например, для имеем:
Взяв, получим,.
Далее запишем характеристическое вектор для характеристического числа:
.
По имеем:
Взяв, получим,. Тогда характеристический вектор для характеристического корня будет такой:
.
Для имеем:
частности, если, получаем,. Характеристический вектор для будет такой:
.
По найденным характеристическими векторами,, строим матрицу
, откуда.
Зная, находим
.
Согласно (353) имеем:
.
Воспользовавшись (352), получим решение сводной системы:
.
Окончательно имеем:
Следовательно, для определения решений систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами нужно матрицу А подать в диагональном виде. А это практически осуществимо только для матриц низкого порядка. Для матриц высокого порядка такие преобразования связаны с большим трудом, из-за чего в этом случае корни характеристического уравнения найти практически невозможно.
С такими ситуациями сталкиваемся при построении вероятностных моделей систем обслуживания, представляют собой линейные однородные системы дифференциальных уравнений, порядок которых может достигать десятков тысяч.
3. Итерационные (многочисленные) методы
1. Вероятностные модели систем обслуживания в общем виде
Системы обслуживания, работающих в реальном масштабе времени, моделируются системой линейных дифференциальных однородных уравнений, в векторно-матричной форме имеет следующий вид:
. (361)
Здесь, (362)
при этом,
. (363)
Н — квадратная матрица такого вида:
. (364)
Итак, исследуемая система N несовместимых состояний.
Элементы матрицы являются постоянными величинами, которые определяются параметрами системы, (- интенсивность поступлений обслуживания требования i-го потока, — интенсивность обслуживания требования i-го потока). Элементы главной диагонали матрицы являются наиболее весомыми по своему числовым значением по сравнению с другими недиагональные элементами и имеют отрицательный знак. Недиагональные элементы этой матрицы могут равняться, или нулю. При этом нулевые элементы каждой строки матрицы составляют большинство.
Учитывая то, что в ходе исследования систем обслуживания нас интересует их обращения в стационарном режиме, покажем, что стационарный решение системы можно найти итерационным методом, который не требует диагонализации матрицы Н, а следовательно, и определение характеристических корней и соответствующих им характеристических векторов.
2. Особенности матрицы Н
Матрица Н всегда характеристический корень. Действительно, учитывая то, что
, (365)
для всех, где N — количество состояний системы, для матрицы Н имеем
, (366)
откуда следует, что эта матрица имеет нулевой характеристический корень.
Характеристические корни матрицы Н или равны нулю, или отрицательные. В случае, когда выполняется неравенство, а когда, то.
Пусть характеристическом вектора матрицы Н соответствует характеристическое число.
Тогда имеем
. (367)
Без ограничения общности рассуждений, для наглядности рассмотрим простую вероятностную модель
(368)
которая в стационарном режиме подается так:
(369)
В векторно матричной форме система (368) принимает следующий вид:
, (370)
где
. (371)
Уравнение (367) в развернутом виде можно записать так:
или

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.