Тригонометрические выражения и их преобразования

Реферат на тему:

тригонометрические выражения и их преобразования

Отношение сторон в треугольнике

Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник АВС .

Обозначим стороны прямоугольного треугольника через а , b , с , где с гипотенуза (рис. 1), прямой.

Рис. 1

В таком треугольнике вводят следующие соотношения

. (1)

Пусть АВС произвольный треугольник со сторонами а , b , с и углами (рис. 2).

Рис. 2

В обозначим радиус описанной окружности.

Исполняется формула

(2)

которую называют теоремой синусов .

Доказательство формул (2) следует из того, что все вписаны в круг углы, опирающиеся на одну хорду, равны между собой (рис. 3).

Рис. 3

Проведем диаметр. Угол. Угол прямой, а назад. Аналогично доводятся равенства,, из которых следует формула (2).

При решении треугольников часто используют теорему косинусов , которая приводит к формулам:

. (3)

Докажем первую формулу (рис. 4).

Рис. 4

С треугольника находим:

,,,.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем первую из формул (3):

.

Прямой угол делится на 90 равных между собой частей, градусов . Угол 30 составляет одну треть а угол 45 половину прямого угла. Приведем таблицу значений функций,.

< p>

0

30

45

60

90

1

0

Определение и графики тригонометрических функций

< p> Дано прямоугольную систему координат.

электронный аукцион запрос котировок
Пусть единичный вектор, образует произвольный угол с осью (рис. 1). Точка А находится на круге единичного радиуса с центром в начале координат В .

Рис. 1

Угол измеряется длиной дуги, которая называется радианной степени угла. Поскольку радиус окружности равен единице, то длина всего круга. Прямой угол измеряется длиной одной четвертой части окружности, равной. Приведем таблицу соответствия углов в радианной и градусной мере.

< COL WIDTH = 41>

0

0

30

45

60

90

180

270

360

Функция парная, нечетная, то есть,.

Оси координат разбивают координатную плоскость на четыре части, которые называются четвертями . Говорят, что угол принадлежит первой четверти, если; угол принадлежит второй четверти, если; угол принадлежат третьей четверти, если; угол принадлежит четвертой четверти, если (рис. 2).

Рис. 2

Если угол выходит за пределы отрезка, то находим целое число такое, что. Угол принадлежит той четвертые, которой принадлежит угол.

Знаки тригонометрических функций в разных четвертях иллюстрирует рис. 3.

Рис. 3

Определим основные тригонометрические функции:

,.

Функцией x = cos t называется проекция на ось единичного вектора, образует угол с осью.

Функцией y = sin t называется проекция на ось единичного вектора, образует угол с осью.

Из теоремы Пифагора следует равенство

или

. (1)

Это равенство позволяет найти значение функции, когда известно значение функции:

.

Аналогично можно найти значение функции, когда известно значение функции:

.

Выбор знака зависит от того, в какой четверти лежит угол.

Приведем некоторые свойства функций,.

1. Область определения все значения.

2. Область значений отрезок, поскольку.

3. Функции, периодические с периодом, поскольку

,.

Пример. Дано:,. Найти.

  • Поскольку во второй четвертые, то

.

Пример. Дано:,. Найти.

  • Поскольку в третьей четвертые, то

.

Построим графики функций, (рис. 4).

Рис. 4

Из графиков видно, что выполняются следующие свойства:

, (2)

,, (3)

,. (4)

Из формул (2) (4) вытекают следующие формулы:

(5)

Функции tg t , ctg t определяются по формулам:

,. (6)

1. Область определения функции,, функции:,.

2. Область значений:,.

3. Функции, имеют период.

4. Функции, нечетные относительно.

Из формул (2) (5) вытекают следующие равенства

(7)

.

Функции, можно определить графически. Проводим касательную к единичной окружности в точке (1, 0), которая называется линией тангенсов . Пусть вектор образует угол с осью (рис. 5). Продолжим вектор до пересечения с линией тангенсов в точке С . Для ординаты точки пересечения С имеем:.

Рис. 5

Аналогично проводим касательную к единичной окружности в точке (0, 1). Эта касательная называется линией котангенсов . Продолжим вектор до пересечения с линией котангенсов в точке (рис. 6).

Рис. 6

Для абсциссы точки пересечения имеем:.

Построим графики функций.

Функция возрастает на каждом промежутке, (рис. 7).

Рис. 7

Функция убывает на каждом промежутке, (рис. 8).

Для функций в точках разрыва выполняются предельные соотношения

; ;

; ;

; ;

; 0

Рис. 8

Функция имеет точки разрыва,. Функция имеет точки разрыва,.

Основные тригонометрические тождества

Из формул (1) (6) подраздела. 6.2 вытекают следующие равенства

;

; ; ;

,.

Эти равенства позволяют находить значения тригонометрических функций, когда известны значения одной из них.

Пусть, например, угол содержится в первой четверти,. Из равенства находим:; ; ; ; .

6.4. Формулы сложения углов

Пусть точки А , В находятся на единичном круге и векторы, образуют углы, с осью (см. Рисунок) .

Находим расстояние

Из теоремы косинусов для треугольника ОАВ находим

Сравнивая результаты, получаем формулу

. (1)

Заменив знак угла в формуле (1) на противоположное, получим:

. (2)

Заменим в формуле (1) угол на угол

.

Полученное равенство с помощью формул (5) подраздела. 6.2 принимает вид:

. (3)

Заменив в формуле (3) угол на, получим:

. (4)

При имеем формулы двойного угла

(5)

Добавляя к последней формулы (5) и вычитая от нее тождество, получаем формулы

(6)

которые можно записать в виде:

. (7)

Найдем, например, выражения для,

Аналогично получаем:

Заменив на в формулах (7), получим:

< p> (8)

Для функции имеем:

.

Поделив числитель и знаменатель на произведение, получим формулу добавления углов

. (9)

Заменив на, получим формулу

. (10)

Формулы приведения

Часто приходится превратить выражения

на тригонометрические функции от, используя формулы приведения.

Например, поскольку, имеем:

(1)

Аналогично выводятся формулы

. (2)

Приведем формулы, которые нужно запомнить:

(3)

Наиболее часто применяемые формулы приведения помещены в таблице.

< / TD>

Для возведения тригонометрических функций можно использовать такое легко запоминающиеся правило.

В случае возведения до горизонтального диаметра при парном значении n название тригонометрической функции сохраняется. В случае возведения к вертикальному диаметра при нечетном значении n название функции изменяется на подобную

.

Знак перед сводной функцией от определяется знаком функции от для угла в первой четверти .

Например,, поскольку угол содержится во второй четвертые, где синус положительный, а косинус отрицательный.

Преобразование произведений тригонометричнихфункций на суммы

Выполняя формулы

для косинуса разница и сумма углов получаем:

(1)

Аналогично, используя формулы

получаем:

(2)

Превратим, например, произведения функций

Формулы сложения и видниманнятригонометричних функций

Возьмем в формулах (1) с подразд. 6.6

.

Тогда

и указанные формулы принимают вид:

(1)

Аналогично по формуле (2) с подразд. 6.6 имеем:

(2)

Превратим, например, выражения:

Отсюда найдем

.

Для суммы и разности тангенсов получим:

. (3)

ЛИТЕРАТУРА

  1. Вышинский В. А., Перестюк Н. А., Самойленко А. М. . Сборник задач по математике: Учеб. пособие. 2-е изд., Доп. М .: Просвещение, 1993. 344 с.

  2. Саушкин А. Ф . Решение алгебраических уравнений. М .: Финансы.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И . Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. 3-е изд., Перераб. М .: Наука, 1990. 96 с.

  4. Амелькин В . Задачи с параметром. Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. набольшее и наименьше значения величин. М .: Школа-Пресс, 1995. 144 с.

  6. Чайковский М. А . Квадратные уравнения. К., 1970. 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О . Уравнения и системы уравнений с параметрами: Математика. № 21 22 (81 82), Сентябрь 2000.

  8. Гусь Г. М., Капуцкая Д. А . Математика для подготовительных отделений вузов: Дел. пособие / Под ред. А. А. Гусак. Мн .: Высш. шк., 1989. 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М . Ваш домашний репетитор. М .: ООО «Изд. Дом» ОНИКС 21 век "", 2003. 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. 2-е изд., Перераб. и доп. М .: ЮНИТИ, 1998. 430 с.

  11. Алгебра и начала анализа: Учебн. для 10 11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. Двенадцатого изд. М .: Просвещение, 2002. 384 с.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.