Решение неровностей

Реферат на тему:

Решение неравенств

Основные понятия

Два математические выражения, соединенные знаком «больше» (>), «меньше» (<), "не более" () или "не менее" (), называются неровностями .

Запись означает, что либо.

Неровности бывают числовые и буквенные. Числовыми называют такие неровности, обе части которых являются числа, записанные цифрами. Если хотя бы одна часть неравенства является буквенным выражением, такое неравенство называется буквенной.

Любая правильная числовая неравенство, а также любая буквенная неравенство, оправдывается при всех допустимых значениях букв, входящих в нее, называется тождественной неравенством . Например:

Приведем свойства тождественных неровностей.

1. Если, то.

2. Если,, то.

3. Если, то.

4. Если,, то,.

5. Если,, то.

6. Если и n натуральное число, то,.

Неровности первой степени с одним неизвестным

Неравенство, которая содержит буквы, обозначающие неизвестные числа, называется неравенством с неизвестными .

Если в неравенство с одним неизвестным вместо неизвестного подставить какое-нибудь число и в результате получим верное числовое неравенство, говорится, что это число удовлетворяет данную неравенство .


http://stavropolboard.ru

Каждое число, удовлетворяющее неравенство, называют решением этого неравенства.

Решить неравенство значит найти все ее решения.

Неравенство вида называется неравенством первой степени с одним неизвестным .

Пример. Решить неравенство

.

  • После преобразований получим, откуда.

Система двух неравенств с одним неизвестным сводится к одному из таких случаев.

1); 2); 3); 4).

Если, то решение такой системы неравенств подается в виде:

1); 2); 3); 4).

Пример. Решить систему неравенств

.

  • Система неровностей принимает вид:

.

Квадратные неравенства

Рассмотрим квадратную неравенство

. (1)

Если, то неравенство (1) выполняется для всех при и не выполняется для одного (рис. 1).

Рис. 1.

Если, то неравенство (1) выполняется для всех при, причем в точке и не выполняется для одного кроме где (рис. 2).

Рис. 2.

При находим корни уравнения

,.

Если, неравенство (1) выполняется при (рис. 3).

Рис. 3.

Если, неравенство (1) выполняется при (рис. 4).

Рис. 4.

Можно сформулировать простое правило.

Если квадратная неравенство (1) выполняется при больших значениях , то она выполняется вне отрезка, ограниченным корнями уравнения. Если неравенство (1) не выполняется при больших значениях, то она выполняется на отрезке, ограниченном корнями уравнения (1).

Пример. Решить неравенство.

  • Поскольку неравенство не выполняется при больших значениях, то она выполняется между корнями уравнения,, то есть при.

Пример. Решить неравенство.

  • Данная неравенство выполняется при больших значениях, поэтому она выполняется вне интервалом, ограниченным корнями уравнения, то есть при

Часто приходится решать неравенство вида

(2)

равносильную системе неравенств.

Пример. Решить неравенство

.

  • По формуле (2) получаем систему неравенств:

, откуда.

Метод интервалов

Метод интервалов применяется при решении любых неровностей, но чаще всего к нему прибегают, решая рациональные неравенства вида

(1 )

где натуральные показатели степени. Чтобы решить такую ​​неравенство, находим корни многочлена в левой ее части и обозначают их на числовой оси. Далее проводим кривую (ориентировочный график этого многочлена) так, чтобы она проходила над осью, когда многочлен (1) положительный и под осью, когда этот многочлен отрицательный. Если многочлен не имеет квадратных корней то указанная кривая нигде не соприкасается с оси, а только пересекает ее в точках, соответствующих корням многочлена. Поэтому достаточно определить знак многочлена в каком-то одном интервале, на которые разделяют числовую ось корни многочлена, чтобы узнать, в каких интервалах график рассматриваемого многочлена содержится выше оси, а в каких ниже, то есть при каких значениях x данный многочлен положительный, а при каких отрицательный. При переходе через кратный корень кривая остается с той же стороны от оси х сторону, если показатель парной, и переходит на другой относительно оси х сторону, если показатель нечетный.

Пример. Решить неравенство

.

  • Обозначаем корни на оси х и изображаем кривую, определяет знаки левой части неравенства (рис. 1).

Рис. 1.

Неравенство имеет решение.

Пример. Решить неравенство

.

  • Разложим левую часть неравенства на множители:

.

Поделив обе части неравенства на множители и которые всегда положительные, получим:

.

Копим на числовой оси точки (рис. 2).

Рис. 2.

Таким образом, данный многочлен везде положительный, кроме двух точек, которые являются решениями неравенства.

Пример. Решить рациональную неравенство

.

  • Копим на числовой оси точки, в которых левая часть неравенства может изменить свой знак (рис. 3).

Рис. 3.

Точки, в которых неравенство не выполняется, обозначаем пустым кружочком. Итак, имеем такое решение неравенства:

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства сводятся, как правило, к одному из двух следующих неравенств:

; (1)

. (2)

Неравенство (1) выполняется в одном из двух случаев:

Неравенство (2) выполняется, если выполняются неравенства:

Пример. Решить неравенство

.

  • Есть неравенство вида (1). Решим системы неравенств:

Окончательно находим решение

Пример. Решить иррациональную неравенство

.

  • Есть неравенство вида (2), решение которой следующее:

.

Пример. Решить неравенство

.

Решаем отдельную неравенство и уравнение:

;

.

Окончательно получаем решение

Пример. Решить неравенство

.

  • Решая отдельно неравенство и уравнение, получаем:

.

Окончательно имеем решение

Каждую иррациональную неравенство можно решить методом интервалов. Для этого находят ее ОДЗ, а дальше заменяют неравенство равенством и решают уравнения. Точки, соответствующие решениям, разбивают ОДЗ на интервалы. Если в одной точке некоторого интервала неравенство выполняется, то она выполняется во всех точках этого интервала. И наоборот: если в какой-либо одной точке интервала неравенство не выполняется, то она не выполняется во всех его точках.

Пример. Решить методом интервалов неравенство

. (3)

  • Из неравенства находим ОДЗ:

Далее вместо неравенства (3) решаем уравнение или откуда

Наносим соответствующие точки на числовую ось (см. рисунок).

Рассматриваем каждый из образованных интервалов отдельно.

1. Подставляем значение из интервала в неравенство (3). Получаем неравенство не выполняется. Поэтому неравенство (3) не выполняется во всех точках интервала.

2. Подставляя в неравенство (3) значения из интервала, получаем верное неравенство. Итак, неравенство (3) выполняется на интервале.

3. Подставляя в (3) значение из интервала получаем неправильную неравенство. Это означает, что неравенство (3) не выполняется ни в одной точке интервала.

Окончательно имеем решение неравенства (3).

Показательные неравенства

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.