Элементы математической статистики Задача математической статистики Выборочный метод и его активные понят

Реферат на тему:
Элементы математической статистики. Задача математической статистики. Выборочный метод и его активные понятия
В предыдущих разделах было указано, что зная интегральную или дифференциальную функцию распределения, закон распределения можно указать вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, вероятность появления события.
Однако в большинстве случаев, встречающихся на практике, точное значение вероятности или точное выражение функции распределения нам неизвестен поэтому возникает задача об их определения экспериментально.
Математическая статистика изучает методы, которые с помощью некоторой совокупности экспериментов делает определенные вероятные выводы.
Задачи математической статистики
1. Пусть событие А имеет вероятность, но ее значение р = Р (А) неизвестно; необходимо оценить данное значение по совокупности данных испытаний. Мы уже сталкивались с заданной задачей: вводили понятие относительной части появления события А.
2. Есть целый ряд важных задач, связанных с неизвестными функциями распределения. То есть необходимые методы установления функции распределения F (x) случайной величины "" по данным, полученных в результате испытаний.
3. Может быть так, что многомерная функция распределения зависит от совокупности параметров 2 ... 2к; Данная функция F (х, 2, ..., 2к) может быть воспроизведена если задать значение 2, ... 2к. необходимо провести оценку случайных значений параметров 2 ... 2к, то есть провести выборку из совокупности данных экспериментов, которая позволила бы провести эту оценку.
Избирательная из генеральной совокупности.

Источник: KievNews
Распределение выборки. Выборочные характеристики. Общие понятия математической статистики.
Пусть — случайная величина, причем функция распределения F (x) нам неизвестна.
Для того, чтобы ее установить оценить мы проводим «n» раз эксперимент в одних и тех же условиях. Тогда результаты измерения будут: х1, х2, ... хn. То есть результаты измерений будут определять конечное множество
А = х1 ... хn, — состоящий из однотипных элементов.
Множество А называют генеральной совокупностью, а группу элементов, которые наблюдались при «n» повторениях эксперимента, — случайной выборной. Еще назыв. если всю совокупность элементов проверить это генциома совокупность, а не ее случайная выборка.
В большинстве случаев нас интересует не сами элементы, а их статистические характеристики.
И так виборочною совокупности, или выборной называют совокупность случайно отобранных объектов с генеральной совокупности — всей совокупности элементов.
выборки являются повторные и безповторних.
Повторная выборка — это выборка, когда отобранный объект возвращается в генеральную совокупность.
безповторних — когда отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Для того, чтобы выборка могла описывать генеральную совокупность то необходимо, чтобы она правильно ее представляла, отражала пропорции элементов генеральной совокупности.
Это требование означает, что избирательная является репрезентативной.
результате закона больших чисел понятно, что при ривноймовирности представление того или иного объекта в избирательную, случайный способ формирования выборки сделает ее репрезентативной.
При очень большом объеме генеральной совокупности повторная и безповторних выборки практически не будут отличаться и в границы неограниченной мощности генеральной совокупности разница исчезает совсем.
типичная выборке называется выборка, когда объекты выбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее типичные части. Таким образом выборки проводят тогда, когда группы генеральной совокупности значительно отличаются друг от друга. Например, параметры деталей, изготовленных на разных станках, часть которых снижена физически.
выборку можно приводить механически.
При необходимости проверки 20% выбирают каждую пятую, 5% — каждую двадцатую.
выборку можно проводить серийно.
есть с генеральной совокупности выбирают элементы не по одному а сериями, группами. Это целесообразно, когда отклонение параметров групп друг от друга незначительно.
вариационной рядом выборки х1 ... х называется способ ее записи, при котором все ее элементы упорядочиваются по величине, то есть записываются в виде:
х (1), х (2) ... х (n), причем х (1) х6 (2) х (3) ...... х (n).
Разница между максимальным и минимальным значением параметра Х называется размахом выборки.
х (n) — х (1) = (размах)
Пусть параметр «хи» в выборке встречается «ni» раз. тогда «ni» — это часть элемента хи.
Статистическим рядом называется последовательность упорядоченных пар (хи, Ри).
Например: записать в виде вариационного и статистического рядов выборку 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Найти размах выборки. Объем выборки (полное число элементов n = 15).
вариационной рядом будет (упорядочение по величине) 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10
Размах 10 — 2 = 8
Статистический ряд:
Xi 2 3 4 5 10 июля
N и = 15
N и 3 1 2 3 4 феврале
При большому числу элементов выборки весь ее розах разбивается на интервалы, как правило одинаковые
n1 nк
х1 min xn max
и статистический ряд представляется в виде таблицы:
Номер интервала Границы интервала Середина интервала частоты ni _____
част.
nj
j = 1 Отв.
част.
______
частоты
1
2 10 — 12
12 — 14 12
13 февраля +
4
2
2 июня
15
Эмпирическая функция распределения
Пусть задана случайная величина Х. Обозначим через nx — число элементов выборки при котором случайная величина приобрела значение меньше х. пусть объем выборки n. Тогда ясно, что — будет зависеть от «x» и при росте х до верхней границы данное отношение будет приближаться к 1.
эмпирической функцией F (x) = распределения называют относительную часть появления элементов меньших х, где n — о Объем выборки.
В отличие от эмпирической функции распределения выборки функция распределения всей генеральной совокупности F (x) называют теоретической функцией распределения.
Разница между ними следующая:
 — F (x0) — определяет вероятность появления значений случайной величины.
 — F (xo) — характеризует относительную частоту появления такого события.
С теоремы Бартулли следует, что эти две величины приближаются друг к другу при «n»
есть оценкой F (x) — интегральной функции распределения генеральной совокупности может служить эмпирическая функция распределения.
Полигоном частот групповой выборки называется Ломаная линия с в точках (хи, ns)
центры интервалов разбивки
пиктограмме называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников (хи, ni).
Распределением выборки называют функцию:
Fn (x) =
xi х
n
n3
n2
n1
х1 х2 х3 х
Конечно, наиболее полной информацией о генеральной совокупности несет функция распределения F (x), описывающий вероятность события xi х. Но для оценки этой величины используется эмпирическая функция распределения F * (x).
Интересно, насколько отличается и F * (x) и F (x), а также статистические параметры вычислений для генеральной и выборки.
Б) Статистические оценки параметров распределения
Как правило, число членов, элементов генеральной совокупности очень большое, или даже ограничено. Тогда возникает задача оценки параметров по значению аналогичных параметров выборки, число элементов ограниченный.
Например, если по некоторым теоретических расчетах известно, что случайная функция описывается нормальным законом распределения. Тогда, если бы знать мат. ожидание и дисперсию (среднее квадратное отклонение, то функция распределения была бы определена.
Как правило исследуем известны лишь данные выборки х1 ......... .хn, полученные в «n» опытах, проводимых в одних и тех же условиях. < br /> Под фразой «найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения» понимают найти функцию распределения, которая дает приближения значения параметра.
Оценка генеральной средней, генеральной дисперсии.
Пусть задано выборку х1 ......... .хn с генеральной совокупности с неизвестной функцией распределения F (x).
Математическое ожидание для теоретического распределения, и дисперсия
а = М (х) 2 = D (x)
Нам необходимо с определенной надежностью определить F (x) или хотя бы некоторые ее члену характеристики.
Мы уже вводили функцию распределения выборки:
Fn (x) =,
где V число хи x1n — мощность выборки.
математическим ожиданием, дисперсией, моментами выборки будут соответственно:
= хи, 2 = (хи -) 2 и т.д.
это не что иное как усредненное уточнения хи, и отклонения ((хи -) 2 среднего. Оказывается, что эмпирическая функция распределения и ее числовые характеристики могут смутить приближениями теоретических соотношений ат величин.
Существуют ряд теорем, которые утверждают, что при (объем выборки очень большой) Fn (x) F (x) а; и т.д.
Точность оценки, ее надежность и надежная вероятность
Понятно, что n конечное для любой выборки возникает вопрос «насколько близки» параметры теоретических и выборочных параметров.
Надежные пределы математического ожидания
Типичной оценке называют оценку, которая определяется одним числом. Если выборку выбирать малой и типичной, оценки определены большие погрешности.
интервальной оценке называется оценка двумя числами, началом и концом интервала. Пусть мы хотим оценить параметр. Ясно что точность будет тем выше, чем величина будет меньше.
То есть, если для
то меньшем бы соответствует большая точность.
Но вообще говоря выбрав определенное «б» мы не можем утверждать, что данное неравенство выполняется, она выполняется только с определенной вероятностью.
надежностью (доверительной вероятностью) оценки параметры с помощью.
Следует отметить, что при оценке дисперсии генеральной совокупности по значению дисперсии выборочные, вычисленные как арифметические квадрами отклонения переменной величины от математического ожидания возникает систематическая ошибка.
есть связь несколько иной
М (ДВ) = ДГ исчисленная ДВ по данной формуле называется исправленной.
есть для исправления систематической ошибки следует вычислять по формуле:
это действительно так, ведь
Поэтому в качестве оценки генеральной дисперсии следует использовать формулу:
где «к» — еще число групп, интервалов
х1 х2 ...... .хк
n1 n2 ...... .nк

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.