Шпаргалка часть 20

Шпаргалка

(I) 1) Частные производные и полный дифференциал.

Пусть ф-ция z = f (x; y) имеет частные производные во всех т. Множ. D. Возьмем т. (Х, у) является D. В этой точке существуют частные производные z / x и z / y, которые зависят от х и у, то есть ф-циями 2 изменений. Значит можно поставить вопрос о нахожу ее частных производных. Если они существуют, то назыв производными II порядка.

Произведение F "(x) * x назыв. дифференциалом ф-ции у = f (x), изображают символом dy, то есть dy = f '(x) * x.

Найдем дифференциал ф-ции у = х; для этого случая y '= x' = 1, следовательно dy = dx = x. Таким образом дифференциал не завись переменной совпадает с ее приростом x. dy = f '(x) dx

(I) 2) Производная по направлению.

Известно, что механич. смысл производной ф-ции 1 неза переменной — изменения ф-ции в данный момент х. Аналогично можно толковать мех. содержание частей производных I-го порядка ф-ции z = f (x; y)

z / x — скорость изменения ф-ции в направлении Ох.

z / y — скорость изменения ф-ции в направлении Оу.

частей производную ф-ции z не завись переменной по направлению эх, еу находят

где и — Углы, которые образуют. Вектор е с осями координат.

(И) 3) Градиент.


www.credit.ee

Направление максимальной скорости изменения ф-ции z = f (x; y) совпадает с направлением вектора — градиентом.

По формуле дл вектора находят величину этой максимальной скорости:

(И) 4) Экстремумы.

Ф-ция имеет экстремумы в т. М0 (х0; у0), если существует такой окрестность этой т., Для всех точек М (х; у) по этому окрестности выполняется неравенство f (x0; y0)> f (x; y). Точки, в которых частные производные и порядка = 0 или не существуют называются критическими.

(И) 5) Необходимо и достаточное условия существования экстремума.

в т. Экстремума ф-ции ее частная производная = 0 или не существует в т. экстремума дифференцированной ф-ции выполняется неравенство:

df / dx = 0 и df / dy = 0.

Необходимо

Достаточное

AC — B2 <0 - НЕ СУЩЕСТВУЕТ

АС — В2 = 0 -?

A = 2z / x2 (M0)

C = 2z / y2 (M0)

B = 2z / x y (M0)

(И) 6) Условный экстремум.

Уравнение (х; у) назыв уравнением связи, т. (х0; у0) является Е назыв т. Условного строгого максимума ф-ции u = f (x; y). Относительно уров связи, если существует такой окрестность т. (Х0; у0), для всех точек которого (х, у) (х0; у0), удовлетворяющие уравнение связи, верно неравенство: f (x; y) f (x0; y0).

z = f (x; y) (x; y) = 0

F (x, y, ) = f (x; y) + (x; y)

(И) 7) Наибольшее и наименьшее значения ф-ции на замкнутой области.

Ф-ция, непрерывная на замкнутой ограниченном множестве D, достигает в ней наибольшего и наименьшего значения. Эти значения она может принимать как во внутренних точках множества D? Так и на ее границе, то есть необходимо специальное исследование предельных точек множества D.

(И) 8) Метод наименьших квадратов.

Пусть х1, x2,. xn — последовательность значений неза переменной, а y1, y2,. yn — последовательная. значений зависимой переменной. Необходимо подобрать прямую, наилучшим образом отражает зависимость между х и у отклонение фактических значений ф-ции от подобранной прямой должно быть минимальным. Пусть y = ax + b равны. этой прямой y1 = ax1 + b1. yn = axn = bn

Отклонение составляет

y1 — yi = yi — (axi + b) = yi — axi — b.

Это отклонение должно быть вложения или отрицательным, поэтому прямая подбирается так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Необходимое условие существования min заключается в том, что f / a = 0 f / b = 0

Имеем: (y1-b-ax1) 2 = y12 + b2 + a2x12-2abxi-2bxiyi, следовательно

Вычислим

Таким образом мы получили 2 ур с двумя переменными a и b. Решение этих двух уров дает значение a и b, которые определяют прямую, лучше всего отражает ход переменной ф-ции.

(II) 9) Понятие первоначальной ф-ции и неопределенного интеграла.

Первоначальной ф-цией для данной ф-ции f (x) называют ф-цию F (x) такую, что f (x) = F '(x) или f (x) dx = dF ( x).

Теорема о множестве первобытных

Любые 2 первобытные одной и той же ф-ции отличаются только на постоянное слагаемое. F2 (x) = F1 (x + c).

Всю множество первобытных F9x) + с для ф-ции f (x) называют неопределенным интегралом и обозначают:

f (x) dx = F (x) + c. Геометрически не определен представляет множество интеграл прямых.

(II) 10) Основные свойства неопределенных интегралов.

  1. Производная не определенного = Подинтегральной ф-ции, а дифференциал от неопределенного = Подынтегральная выражения.

  2. не определишь от дифференциальной. ф-ции = той же ф-ции + постоянное слагаемое. dF (x) = f (x) dx = F (x) + c.

  3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного .

  4. не определишь от алгебраической суммы нескольких ф-ций = той же сумме от заданных ф-ций.

(II) 11) Методы интегрирования.

  1. Метод непосредственного интегрирования: а) _введення под знак постоянного множителя и постоянного слагаемого; б) _введення части подынтегральной ф-ции.

  2. Метод подстановки (замены переменной): f (x) dx = f ( (t)) "(t) dt

  3. Метод интегрирования по частям: udv = u * v — v * du.

Интегрирование выражений с квадратного трехчлена.

(II) 12) Рациональные дроби. Интегрирование рациональных дробей. Неинтегровни ф-ции.

Интегрирование рац дробей.

Теорема: правильный рац дробь R (x) / Q расписание на сумму простых рац дробей.

1) Корни знаменателя действительны и различны:

Q (x) = (x — 1) (x — 2). (x- n)

2) Корни действительные, некоторые кратные.

3) Корни действительны, среди них есть кратные, знаменатель содержит квадратный трехчлен.

Неинтегровни ф-ции.

Теорема Коши: непрерывная ф-ция имеет первоначальную. Для каждой непрерывной ф-ции существует определенный f (x) = F (x) + c, но т. Коши утверждает, что для неперерв. ф-ции можно найти первоначальную с помощью конечного числа операций.

(II) 13) Понятие определенного интеграла.

Определение 1: сумма вида

называется интегральной суммой для ф-ции f (x) на отрезке [a; b].

Определение 2: Если существует конечное предел интегральной суммы (см. выше), при max xi 0 и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек и, может эту границу называют определенным интегралом от a до b от ф-ции f (x) и обозначают:

или

(II) 14) Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница.

5) Если f1 (x) и f2 (x) — интегрированные ф-ции на [a; b], то

6) Если ф-ция f (x) интегрирована на каждом из отрезков [a; b], [a; c], [c; b], то справедливо равенство:

7) Если ф-ция f (x) интегрируема на отрезке [a; b] и f (x) 0, xе [a; b], то

8) Если f (x) и g (x) интегрируемые ф-ции на [a; b] и f (x) g (x) для xе [a; b], то

9) Если ф-ция f (x) интегрируема на отрезке [a; b] и m и M — соответственно наименьшее и наибольшее значение ф-ции на отрезке [a; b], то есть m f (x) M, то

Теорема о среднем.

Если ф-ция f (x) интегрируема на отрезке [a; b], то на этом отрезке существует такая т. С, справедливо равенство:

Формула Ньютона-Лейбница

(II) 15) Метод подстановки в определенном интеграле. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.

Теорема: Пусть задан

f (x) — непрерывная ф-ция на отрезке [a; b] и x = (t) — непрерывная ф-ция на отрезке [ ; ]. Если при этом

1) При изменении t от к x меняется от а до b, то есть () = a и ( = b

2) Сложная ф-ция f ( t)) — определена и непрерывна на отрезке [ ; ], То справедлива формула:

Метод интегрирования по частям в определенном интнграли.

(II) 16) Несобственные интегралы. Интеграл от разрывных ф-ций.

1) [a; )

2) (- ; b]

3) ( ;

Интеграл от разрывных ф-ций.

(II) 17) Двойной интеграл.

Определение: Если границы инт. суммы

существует и не зависит от способа разбиения области D на частичные области, от выбора т. М, то эту границу называют двойным интегралом от ф-ции f (x; y) по области D:

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.