Решение системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной м часть 2, билеты днепропетровск кирилловка

вычисления следует прекратить.
В уравнении (4.9) неизвестные называются базисными, а остальные переменных — небазисными. Базисное решение состоит из базисных переменных и нулей, причем нулям соответствуют небазисные переменные. Если в базисе есть столько переменных, сколько уравнений, то такой базис называется невырожденным. Если базисных переменных меньше, чем, то такой базис называется вырожденным.
Пример. Решить методом Жордана-Гаусса систему уравнений:
Р а з в 'я из о к. Так как 1- , 4- , и 5-й столбики имеют соответственно общие множители 2, 3 и 5, то чтобы иметь дело с меньшими коэффициентами, выгодно ввести новые переменные по формулам. И кроме того, переименовать неизвестные в и, чтобы унифицировать наименование неизвестных. Тогда получим
Чтобы при дальнейших преобразования не переписывать на каждом шагу неизвестные, запишем систему в виде таблицы, вполне понятной:
Примем в качестве ведущего первую строчку и в нем ведущим-первый элемент; с помощью его превратим в нули в первом столбце все элементы, кроме первого.
Первая строка умножим поочередно на,,, и результаты добавим согласно второму, третьему, четвертому и пятому строк.
билеты днепропетровск кирилловка
В результате получим:
.
Во второй строке все элементы отрицательные, поэтому можно всю строку умножить на -1. Это не повлияет на результат, потому что такая операция равносильна умножению второго уравнения на -1. Аналогичные действия выполнены с третьей строкой.
Последняя таблица получена умножением второй строки на (3), 5-го — (-3), четвертого — на (-1).
С последней таблицы имеем Учтя подстановки, находим Пояснения к последней таблице: в ней уравнения имеют вид
Из этих уравнений найдено
Ответ:
4.2.4. Нахождение неотъемлемых решений СЛАУ
При решении ряда задач, в частности экономических, приходится иметь дело с системами линейных уравнений, решения которых по смыслу задачи должны быть неотъемлемыми.
При решении ряда задач, в частности экономических, приходится иметь дело с системами линейных уравнений, решения которых по смыслу задачи должны быть неотъемлемыми.
Нахождение таких решений осуществляется тоже по методу Жордана-Гаусса с некоторой его модификацией. Суть модификации заключается в следующем.
1. Если в системе (4.1) в правых частях уравнения являются величины то умножением соответствующих уравнений на -1 их можно сделать положительными.
2. В роли ведущих элементов нужно брать только положительные.
3. На каждом этапе преобразований в правой части таблиц этой последней условия, поступают так:
а) в роли ведущего элемента выбирают положительный элемент для конкретного так, чтобы отношение свободного члена к было наименьшим
б) применить процедуру Жордана-Гаусса , не забывая на каждом этапе выбрать ведущий элемент в соответствии с п.1
в) после всех преобразований выписать решение так же, как и при нахождении произвольных решений. Если все выполнялось правильно, то неотъемлемый решение, если он существует, найти всегда можно.
Легко доказать, что при выполнении условия 1) в правой части системы уравнений не может появиться отрицательный элемент. Чтобы убедиться в этом рассмотрим равенство:. Пусть в нем выбрано так, что отношение — меньше всех подобных отношений к конкретному.
тогда. Чтобы было неотъемлемым, должно быть, о чем говорится в п.1).
Пример 1. Найти неотъемлемый решение системы уравнений:
Р а з в 'я из о к. Запишем матрицу этой системы и осуществим ряд последовательных ее преобразований:
От 1-го и 3-й строки вычтем 3, а от 4-го — 0,25.
(3-ю строчку поделим на 2)
(1-я строка поделим на 7)
(4-ю строчку умножим на 7)
.
Ответ:.
Базисными переменными здесь есть а -небазисни переменные.
Пример 2. Расставить числовые коэффициенты в реакции
Р а з в 'я из о к. Пусть — коэффициенты в написанном уравнении
Отсюда
Конечно, и эта система может быть решена методом Жордана-Гаусса. Но она так проста, что ее можно решить довольно легко. Действительно, учитывая, что, с четвертого уравнения найдем, что Учитывая это, остальные уравнений будет такой: Отсюда Тогда
Итак, решение имеет вид:
Чтобы было целым, должно быть Тогда
Таким образом, уравнение будет таким:
.
4.2.5. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные системы
Расширенной матрицей системы линейных алгебраических уравнений (4.1) называется матрица (к матрице системы присоединяется столбец свободных членов)
Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений (4.1) совместима тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы
Мы приводим эту теорему без доказательства. Доказательство см., Например, в кн. Д.В.Беклемишев. Курс аналитической геометры и линейной алгебры. М.: Наука, 1984. с.165-166.
Нахождение ранга матрицы см. в п.4.1.3.
Поскольку в однородной системе линейных алгебраических уравнений всегда то такая система всегда совместима. Она имеет решение называемый тривиальным решением. Все предыдущие результаты о системах линейных уравнений верны и для однородных систем.
Множество решений однородной системы имеет два важных свойства, которые мы приведем без доказательства.
10. Если некоторые столбцы и — решения однородной системы, то их сумма также является решением этой системы. Произведение решения однородной системы на произвольное число является решением той же системы.
20. Если ранг матрицы однородной системы равен то система линейно независимых решений (количество неизвестных системы).
Пример 1. Найти все решения системы линейных однородных уравнений:
Р а з в 'я из о к. Эта система однородна, но здесь 4 уравнения, 5 неизвестных.
Первая строка умножим поочередно на (-1), (-3), (-1) и добавим в соответствии с 2-го, 3-го и 4-го строк.
Четвертую строчку умножим поочередно на 20, 11, 1 и добавим в соответствии с 2-го, 3-го и 4-го строк.
Вторую строчку умножим на (-1), 7 и добавим в соответствии с 1-го и 3-го строк.
.
С последней таблицы имеем
или
где С-произвольная константа.
Поскольку
то
Тогда система линейно независимый решение (одна свободная неизвестна, например).
Пример 2. При каких значениях система уравнений
имеет ненулевые решения? Найти эти решения.
Р а з в 'я из о к. Система уравнений может иметь ненулевые решения, если, то есть
.
Разложим определитель по элементам первой строки:
.
Отсюда.
Но если, то первое и второе уравнения оказались одинаковыми. Поэтому одна из них можно отбросить. Тогда получим систему
Если считать свободным неизвестным, то
есть отсюда. Тогда из первого уравнения получим. Итак, если считать
то
где — произвольное число, отличное от нуля. Предоставляя величине произвольных числовых значений, будем получать конкретные решения. Как видно, система имеет множество решений, потому что каждому соответствует какой-то решение, например, при иметь

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Комментарии закрыты.